Analyse de la stabilité robuste généralisée par la méthode de l'intégrale de dilatation

Depuis plusieurs décennies, l'étude de la stabilité généralisée des systèmes paramétrés a suscité l'intérêt de beaucoup de chercheurs. Bien qu'il existe à ce jour de nombreuses méthodes permettant l'analyse du confinement des valeurs propres d'une matrice dans des domaines du plan complexe, la majorité n'adresse que des cas particuliers de systèmes, tandis que d'autres, plus générales, souffrent de la difficulté d'utilisation lorsque le nombre de paramètres augmente. Dans ce contexte, il est très intéressant de développer une méthode d'analyse permettant d'adresser tous les types de systèmes, quel que soit le nombre de paramètres. Pour arriver à une solution, une étude approfondie sur les applications gardiennes a été poursuivie. Ceci a permis de les maîtriser et d'en sortir une méthode d'analyse qui permet de juger la robustesse autour d'un point nominal à partir du signe de l'application gardienne. Ainsi, on a entrepris une étude sur la méthode de l'intégrale de dilatation pour apporter une solution au jugement de la positivité d'un polynôme multivariable. On est ainsi parvenu à maitriser cette nouvelle méthode, à relever ses faiblesses et à proposer des améliorations surtout en ce qui concerne la convergence des calculs. Parallèlement, une présentation de la méthode d'intégration de Smolyak a été détaillée. Celle-ci permet de calculer exactement l'intégrale de dilatation des polynômes multivariable tout en réduisant le nombre d'évaluations, surtout lorsque la dimension augmente.

Abstract

The generalized stability of uncertain systems has attracted the interest of many researchers. Although there up to now many methods for analysing the belonging of matrix's eigenvalues inside some areas of the complex plane, the majority address particular cases systems, while others, more general, suffer from difficulty of use when the number of parameters increases. In this context, it becomes very interesting to develop a new method to analyze all linear systems, regardless of the number of parameters. To arrive at a solution, we studied carefully the method of guardian maps. This helped to master this tool and we found an analysis method for judging the robustness around a nominal parameters' configuration from the sign of the guardian map. Afterwards, the dilation integral method has been studied to provide a solution to the judgment of the multivariable polynomial's positivity. We mastered this method, raised its weaknesses and proposed improvements especially with regard to calculation rate of convergence. Meanwhile, a presentation of the Smolyak method was detailed. It calculates exactly the dilation integral of multivariable polynomials while reducing the number of evaluations, especially when the dimension increases. Subsequently, there has been interest in the flight control system of a military aircraft. We presented the control strategy of the Short Period mode. Then, we gave the closed-loop's dynamics, considering explicitly the mass and the uncertainty centering. Finally, we have tried and tested the new method on the studied system. The results obtained allowed to validate compliance with the specifications regarding constraints on eigenvalues, especially to confirm the ease of use of the new analysis's method.