Analyse de la stabilité robuste généralisée par la méthode de l'intégrale de dilatation

Depuis plusieurs décennies, l'étude de la stabilité généralisée des systèmes paramétrés a suscité l'intérêt de beaucoup de chercheurs. Bien qu'il existe à ce jour de nombreuses méthodes permettant l'analyse du confinement des valeurs propres d'une matrice dans des domaines du plan complexe, la majorité n'adresse que des cas particuliers de systèmes, tandis que d'autres, plus générales, souffrent de la difficulté d'utilisation lorsque le nombre de paramètres augmente. Dans ce contexte, il est très intéressant de développer une méthode d'analyse permettant d'adresser tous les types de systèmes, quel que soit le nombre de paramètres. Pour arriver à une solution, une étude approfondie sur les applications gardiennes a été poursuivie. Ceci a permis de les maîtriser et d'en sortir une méthode d'analyse qui permet de juger la robustesse autour d'un point nominal à partir du signe de l'application gardienne. Ainsi, on a entrepris une étude sur la méthode de l'intégrale de dilatation pour apporter une solution au jugement de la positivité d'un polynôme multivariable. On est ainsi parvenu à maitriser cette nouvelle méthode, à relever ses faiblesses et à proposer des améliorations surtout en ce qui concerne la convergence des calculs. Parallèlement, une présentation de la méthode d'intégration de Smolyak a été détaillée. Celle-ci permet de calculer exactement l'intégrale de dilatation des polynômes multivariable tout en réduisant le nombre d'évaluations, surtout lorsque la dimension augmente.