A New Definition of the Representative Volument Element in Numerical Homogenization Problems and its Application to the Performance Evaluation of Analytical Homogenization Models.

Le Volume Élémentaire Représentatif (VÉR) joue un rôle important dans la mécanique des matériaux composites dans le but de déterminer leurs propriétés effectives. L'homogénéisation numérique permet de calculer avec précision les propriétés effectives des composites étant donné que le VÉR soit utilisé. Dans le cadre d'homogénéisation numérique, le VÉR réfère à un ensemble de volumes élémentaires du matériau qui produisent, en moyenne, les propriétés effective du composite. Plusieurs définitions quantitatives du VÉR, détaillant les méthodes de sa détermination, sont trouvées dans la littérature. Dans cette étude, les différentes définitions du VÉR sont évaluées vis à vis leurs estimations des propriétés effectives du composite. L'étude est realisée sur une microstructure élastique bi-phasée, les composites renforcés par des fibres aléatoirement dispersées. Des simulations par la méthode des éléments finis à grand nombre de degrés de liberté sur des volume de taille différentes sont parallélisées sur des serveurs de calculs. Les volumes élémentaires du matériau sont générées virtuellement et assujetties à des conditions aux rives périodiques. Il est démontré que les définitions populaires du VÉR, basées sur la convergence des propriétés moyennes, produisent des propriétés erronées. Une nouvelle définition du VÉR est introduite basée sur les variations statistiques des propriétés issues des volumes élémentaires. Cette définition est démontrée apte à estimer avec grande précision les propriétés effectives des composites à fibres aléatoires. De plus, la nouvelle définition permet de calculer les propriétés effectives à un VÉR plus petit que celui nécessaire selon les autres définitions, mais aussi de réduire considérablement le nombre de simulations nécessaires pour déterminer le VÉR. Les propriétés effectives calculés par homogénéisation numériques sont comparées à celles des modèles d'homogénéisation analytiques. Les comparaisons sont réalisées sur une large gamme de rapports de forme des fibres (allant jusqu'à 120), de contraste des propriétés (allant jusqu'à 300) pour des fractions volumiques à moins de 20%. Le modèle de Mori-Tanaka, ainsi que les méthodes d'homogénéisation par deux étapes de Mori-Tanaka/Voigt et Lielens/Voigt produisent des estimations précises des propriétés effectives des composites à fibres aléatoirement dispersées et ce jusqu'au rapport de forme de 100. Ceci permet d'utiliser ces modèles analytiques dans un calcul rapide et de grande précision des propriétés effectives de ce type de composites. Pour des fibres de rapports de forme dépassant 100, une saturation de la rigidité effective est observée dans les résultats numériques et aucun des modèles analytiques ne produit des estimations précises des propriétés effectives pour cette gamme de microstructures.

Abstract

The Representative Volume Element (RVE) plays a central role in the mechanics of composite materials with respect to predicting their effective properties. Numerical homogenization delivers accurate estimations of composite effective properties when associated with a RVE. In computational homogenization, the RVE refers to an ensemble of random material volumes that yield, by an averaging procedure, the effective properties of the bulk material, within a tolerance. A large diversity of RVE quantitative definitions, providing computational methods to estimate the RVE size, are found in literature. In this study, the ability of the different RVE definitions to yield accurate effective properties is investigated. The assessment is conducted on a specific random microstructure, namely an elastic two-phase three dimensional composite reinforced by randomly oriented fibers. Large scale finite element simulations of material volumes of different sizes are performed on high performance computational servers using parallel computing. The materials volumes are virtually generated and subjected to periodic boundary conditions. It is shown that most popular RVE definitions, based on convergence of the properties when increasing the material volume, yields inaccurate effective properties. A new RVE definition is introduced based on the statistical variations of the properties computed from material volumes. It is shown to produce more accurate estimations of the effective properties. In addition, the new definition produced RVE that are smaller in size than that of other RVE definitions ; also the number of necessary finite element simulations to determine the RVE is substantially reduced. The computed effective properties are compared to that of analytical models. The comparisons are performed for a wide range of fibers aspect ratios (up to 120), properties contrast (up to 300) and volume fractions only up to 20% due to computational limits. The Mori-Tanaka model and the two-step analytical methods of Mori-Tanaka/Voigt and Lielens/Voigt are best suited for estimating the effective elastic properties of composites reinforced by randomly oriented fibers of aspect ratio up to 100. This finding allows the future utilization of those analytical models for very quick and accurate effective properties calculations for this class of composites. For aspect ratios larger than 100, a stiffening saturation occurs and no analytical model delivers accurate estimations of the effective properties. The present work can be regarded as an awareness flag regarding the validity of currently utilized RVE determination techniques. Moreover, this study provides a first step towards optimization of the RVE determination methods for computing accurate effective properties. The aim is to explore new RVE definitions that yield smaller volumes and have lower determination costs, while yielding accurate effective properties.