Metric-based Mesh Adaptation with Curvilinear Triangles

Les maillages courbes, ou d’ordre élevé, sont utilisés depuis plusieurs dizaines d’années comme support pour simulations par éléments finis ou volumes finis. La flexibilité inhérente aux élé-ments courbes a traditionnellement été mise à profit pour fournir une meilleure résolution des frontières CAD que celle o˙erte par des discrétisations linéaires par morceaux. Les mail-lages d’ordre élevé ont gagné en intérêt au cours de la dernière décennie, puisqu’il a été montré que les schémas numériques d’ordre élevé, bénéficiant d’une convergence accélérée par rapport aux schémas classiques d’ordre deux, pouvaient nécessiter des discrétisations géométriques également d’ordre élevé pour ne pas perdre leurs propriétés d’approximation. Ces maillages sont courbés a posteriori, en plaçant les sommets d’ordre élevé sur la géométrie CAD. Courber uniquement les éléments aux frontières peut les rendre invalides, cependant. Ils sont alors "démêlés", propageant ainsi de la courbure dans les éléments intérieurs. La courbure des éléments intérieurs n’est donc jamais activement recherchée, mais est la con-séquence de la procédure de démêlage. Récemment, l’idée est apparue de mettre à profit ces degrés de liberté supplémentaires pour réduire l’erreur d’approximation dans le domaine de calcul, donnant lieu à l’adaptation de maillages curvilignes. Bien que des éléments cour-bés arbitrairement impactent négativement la convergence des méthodes d’interpolation, il a été montré que des maillages courbes optimisés apportaient un gain d’erreur substantiel, motivant leur utilisation pour l’adaptation de maillages. Cette thèse est la continuité de travaux récents dans cette direction et aborde le problème de l’adaptation de maillages curvilignes en deux dimensions à l’aide de métriques. Plus partic-ulièrement, le problème qui nous occupe est de générer, à l’aide de métriques riemanniennes, des maillages de triangles quadratiques minimisant l’erreur d’interpolation sur un champ scalaire. Cela requiert d’étendre les questions usuelles de l’adaptivité, c’est-à-dire, quanti-fier l’erreur commise en interpolant sur des éléments courbes, obtenir la métrique minimisant cette estimé d’erreur, décrire les propriétés des simplexes idéaux pour cette métrique, et enfin générer des triangulations courbes composées uniquement d’éléments idéaux. Chacune de ces questions est abordée de manière plus ou moins approfondie. Un récent estimateur d’erreur d’interpolation linéaire est d’abord étendu pour traiter des interpolants d’ordre arbitraire. De là, le problème à résoudre pour la métrique optimale est formulé, et un schéma numérique rudimentaire est proposé. La question des simplexes idéaux est traitée en proposant une nou-velle définition d’éléments unités, basée sur des isométries riemanniennes. Cette définition englobe les précédentes. Finalement, un algorithme de génération de maillage fournissant des triangulations courbes et quasi-idéales pour une métrique donnée est présenté.

Abstract

Curvilinear, also called high-order, meshes have been used for decades as a support for nu-merical simulations with finite element and finite volume methods. The added flexibility of high-order elements has historically been used to provide a more accurate representation of curved CAD boundaries than that o˙ered by piecewise linear meshes. High-order meshes have gained interest in the last decade, as it has been shown that high-order numerical schemes, which enjoy accelerated convergence compared to classical second-order methods, may require high-order discretizations so as not to lose their approximation properties. Such body-fitted meshes are curved a posteriori by placing high-order vertices on the geometry. Curving boundary elements only may cause them to become invalid, i.e., tangled. Untan-gling methods cause edge or face curvature to be propagated inside the domain. Thus, the curvature of interior elements is never sought; it appears instead as a by-product of the untangling procedure, and the ideal element is always straight. Recently, the idea emerged of using the additional degrees of freedom provided by high-order meshes to further reduce the approximation error inside the computational domain. This is the topic of high-order anisotropic mesh adaptation, or simply curvilinear mesh adaptation. The classical theory of interpolation discourages arbitrarily curved elements, as they negatively impact the conver-gence rate of interpolation operators. It has been shown, however, that optimized curvilinear meshes may actually provide a substantial reduction in interpolation error, motivating their use in adaptivity. This thesis builds upon recent work in this direction and tackles the problem of metric-based curvilinear mesh adaptation in two dimensions. Specifically, we are concerned with the problem of generating, with the means of Riemannian metrics, meshes of quadratic triangles which minimize the interpolation error on a scalar field. This requires extending the classical questions of adaptivity, namely, quantifying the error committed on curved elements, deriving the Riemannian metric minimizing this error, describing the properties of ideal triangles for this metric, and finally, generating curved triangulations consisting of these ideal simplices. Each of these questions is addressed in more or less depth. We extend a recent linear error estimate to handle interpolation of arbitrary order on curved elements, then formulate the problem for the optimal metric, for which we provide a crude numerical scheme. The question of ideal simplices is treated by proposing a new definition of so-called unit elements based on Riemannian isometries, which encompasses the existing definitions. Finally, a meshing algorithm that outputs quasi-ideal triangulations for a given metric is presented.