Metric-based Mesh Adaptation with Curvilinear Triangles

Les maillages courbes, ou d’ordre élevé, sont utilisés depuis plusieurs dizaines d’années comme support pour simulations par éléments finis ou volumes finis. La flexibilité inhérente aux élé-ments courbes a traditionnellement été mise à profit pour fournir une meilleure résolution des frontières CAD que celle o˙erte par des discrétisations linéaires par morceaux. Les mail-lages d’ordre élevé ont gagné en intérêt au cours de la dernière décennie, puisqu’il a été montré que les schémas numériques d’ordre élevé, bénéficiant d’une convergence accélérée par rapport aux schémas classiques d’ordre deux, pouvaient nécessiter des discrétisations géométriques également d’ordre élevé pour ne pas perdre leurs propriétés d’approximation. Ces maillages sont courbés a posteriori, en plaçant les sommets d’ordre élevé sur la géométrie CAD. Courber uniquement les éléments aux frontières peut les rendre invalides, cependant. Ils sont alors "démêlés", propageant ainsi de la courbure dans les éléments intérieurs. La courbure des éléments intérieurs n’est donc jamais activement recherchée, mais est la con-séquence de la procédure de démêlage. Récemment, l’idée est apparue de mettre à profit ces degrés de liberté supplémentaires pour réduire l’erreur d’approximation dans le domaine de calcul, donnant lieu à l’adaptation de maillages curvilignes. Bien que des éléments cour-bés arbitrairement impactent négativement la convergence des méthodes d’interpolation, il a été montré que des maillages courbes optimisés apportaient un gain d’erreur substantiel, motivant leur utilisation pour l’adaptation de maillages. Cette thèse est la continuité de travaux récents dans cette direction et aborde le problème de l’adaptation de maillages curvilignes en deux dimensions à l’aide de métriques. Plus partic-ulièrement, le problème qui nous occupe est de générer, à l’aide de métriques riemanniennes, des maillages de triangles quadratiques minimisant l’erreur d’interpolation sur un champ scalaire. Cela requiert d’étendre les questions usuelles de l’adaptivité, c’est-à-dire, quanti-fier l’erreur commise en interpolant sur des éléments courbes, obtenir la métrique minimisant cette estimé d’erreur, décrire les propriétés des simplexes idéaux pour cette métrique, et enfin générer des triangulations courbes composées uniquement d’éléments idéaux. Chacune de ces questions est abordée de manière plus ou moins approfondie. Un récent estimateur d’erreur d’interpolation linéaire est d’abord étendu pour traiter des interpolants d’ordre arbitraire. De là, le problème à résoudre pour la métrique optimale est formulé, et un schéma numérique rudimentaire est proposé. La question des simplexes idéaux est traitée en proposant une nou-velle définition d’éléments unités, basée sur des isométries riemanniennes. Cette définition englobe les précédentes. Finalement, un algorithme de génération de maillage fournissant des triangulations courbes et quasi-idéales pour une métrique donnée est présenté.