Comparaison de résolutions elliptiques entre la méthode des frontières immergées et la méthode des volumes finis

La simulation des disjoncteurs haute-tension est une tâche complexe à cause du couplage de plusieurs phénomènes physiques (transfert thermique, écoulement fluide multi-espèces, ablation) et du mouvement des frontières du domaine de calculs. Le partenariat entre l'école Polytechnique et la compagnie General Electric a permis la mise au point d'un logiciel de calcul (MC3) pour simuler le comportement d'un arc électrique dans la chambre d'un disjoncteur. La modélisation des divers phénomènes intervenant dans l'opération d'un disjoncteur est basée sur des schémas de volumes finis sur un maillage de triangles d'une centaine de milliers d'éléments. Le couplage de ces physiques ainsi que la quantité de données relative au maillage engendrent un coût important en temps pour la résolution. La mobilité de certaines pièces lors de l'extinction de l'arc est pris en compte dans la résolution par un maillage mobile de la géométrie, et un calcul transitoire occasionnant des coûts supplémentaires, ainsi que l'interpolation des solutions entre deux étapes de temps du calcul. De nouvelles techniques de modélisation basées sur des maillages cartésiens émergent, comme les méthodes des frontières immergées, présentant le potentiel de réduire le temps de calcul. Dans l'objectif d'améliorer l'efficacité de l'outil MC3, la méthode des frontières immergées sera étudiée. Ce mémoire a pour objectif de tester la mise en œuvre de la méthode des frontières immergées ainsi que sa robustesse en comparaison avec un maillage hybride. Les données, les algorithmes et les résultats de simulations permettront de diriger les travaux futurs ainsi que la portabilité des méthodes pour la modernisation de MC3. Une rapide introduction sur le fonctionnement et les physiques qui entrent en jeu dans la résolution des disjoncteurs haute-tension est donnée. Une description du logiciel MC3 et un énoncé de la problématique en lien avec l'utilisation d'un maillage de triangles est faite pour mettre en évidence la relation temps-données et les enjeux reliés à ce type de maillage. Dans une revue de la littérature, une comparaison entre les grilles cartésiennes et les maillages ajustés à la géométrie est faite. Les avantages et les inconvénients de ces deux structures sont exposés pour chacun des types de maillage. Enfin une brève introduction sur la méthode des frontières immergées est présentée et le choix de la technique est discuté. Dans le chapitre Méthodes Numériques, on rappelle de manière générale les méthodes numériques Finite Volume Method (FVM) sur maillage cartésien et triangle. La méthode des frontières immergées avec la technique des cellules fantômes est détaillée, et une formulation FVM pour l'équation de Laplace pour la méthode des frontières immergées et pour les maillages non-structurés est mise en œuvre.

Abstract

The simulation of the high voltage circuit breaker is a complex task due to the coupling of several physical phenomena (heat transfer, plasma flows, ablations) and the motion of the domain boundary. The partnership between Polytechnique and General Electric has led to a development of a software (MC3) to compute the behavior of an electric arc inside of a circuit breaker. The modeling and the simulation of the phenomena taking place inside a circuit breaker is based on a finite volume schemes discretized on a triangular mesh with over a hundred thousand elements. The coupling of these physics and the amount of mesh data lead to a high computation time. The motion of parts of the boundaries during the opening is taken into account by a moving mesh, adding additional computations for the transient solution and interpolation of the solution between successive time steps. New modeling methods based on Cartesian grids, such as the Immersed Boundary Method, have the potential to reduce the computation time. With the objective to enhance the MC3 tool, the immersed boundary method is studied. The aim of this work is to test the Immersed Boundary Method and its robustness in comparison with an hybrid mesh. Data structure, algorithms and simulation results show the way for future developments and the portability of the method in order to modernize MC3. A short introduction on the functioning and the physics which take place in the operation of a circuit breaker is given. A review of triangular mesh structures is made to highlight the relation between computation time and memory requirements, as well as the challenges associated with these meshes. In a literature review, a comparison between Cartesian and body-fitted meshes is given. Pros and cons of the two mesh structures is given. Finally, a short introduction on the Immersed Boundary Method and the choice of this technique is discussed. In the chapter Numerical Methods, the general formulation of the FVM numerical scheme on Cartesian and triangular meshes is reviewed. The algorithm of the Immersed Boundary Method with the ghost cell technique is detailed. Last, the FVM formulation is applied to the Laplace equation both for immersed boundary and unstructured meshes. In the chapter Algorithms and Data Structure, the different data structures for the geometry, for each type of mesh and the algorithms are given. The algorithm to generate an Hybrid-Mesh is developed. Finally, the limits of the immersed boundary method and hybrid mesh are given. In the chapter Comparison of Elliptic Solutions, a heat transfer problem is computed. The validation is made using plane and axisymmetric analytic solutions. Finally, a heat transfer between two axisymmetric electrodes is computed with both methods and compared. Finally, a critical analysis of the potential of these methods is presented.