Collective Stochastic Discrete Choice Problems: A MIN-LQG Game Formulation

On étudie dans cette thèse une classe de problèmes dynamiques concernant des choix collectifs discrets. Il s'agit de situations où un grand nombre d'agents exercent un effort pendant un horizon de temps fini pour se déplacer de leur position initiale et être à la fin de l'horizon aux alentours d'un nombre fini d'alternatives. En bougeant, ils doivent minimiser leurs efforts. De plus, le trajet de chaque agent est influencé par le comportement global de la population (l'effet social). Par exemple, un groupe de robots explorant un terrain doivent bouger de leurs positions initiales pour visiter plusieurs sites d'intérêt en minimisant leurs efforts. Le groupe peut se diviser en plusieurs sous-groupes, mais la taille de chacun doit rester suffisamment grande pour accomplir quelques tâches collectives, par exemple, des missions de secours. Ces problèmes sont aussi reliés aux élections, où les électeurs changent continuellement leurs opinions jusqu'au moment de décider pour qui ils veulent voter. Durant ce processus de choix d'un candidat, l'électeur optimise ses efforts pour ajuster son opinion et rester dans la zone de confort, c'est-à-dire, proche des opinions des autres. Le but de cette thèse est de comprendre les comportements individuels des agents et en déduire le comportement global de la population, et cela, lorsque les agents prennent leurs décisions de façon soit non-coopérative, soit coopérative. En d'autres termes, pour chacun des deux cas, on répond aux questions suivantes : comment un agent choisit-il sous l'influence de l'effet social? Peuton prédire le comportement global de la population et la distribution des choix entre les alternatives? On modélise les problèmes des choix discrets non-coopératifs par une nouvelle classe de jeux dynamiques non-coopératifs qu'on nomme “min-LQG”. Ce sont des versions modifiées des jeux LQG où les coûts individuels incluent un coût final qui est la distance minimale à l'ensemble des alternatives pour modéliser le phénomène des choix discrets. On étudie deux cas. Dans le premier (min-LQG dégénéré), on considère des agents décrits par des équations différentielles avec des conditions initiales aléatoires, alors que dans le deuxième (min-LQG non-dégénéré), leurs dynamiques sont des équations différentielles stochastiques. On utilise la méthodologie des jeux à champs moyen pour analyser les jeux. On développe des stratégies décentralisées, où chaque agent peut implémenter la sienne en observant son état et la distribution de probabilité des états initiaux des agents. Ces stratégies convergent vers un équilibre de Nash lorsque le nombre d'agents tend vers l'infini. Dans le cas dégénéré, un agent fait son choix d'alternative avant de bouger en se basant sur son état initial. Mais, dans le cas non-dégénéré, il ne peut plus s'engager à un choix dès le début.