Étude de conditions limites de sortie pour la méthode des éléments finis

La résolution numérique des équations de Navier-Stokes nécessite l'utilisation d'un domaine de calcul discrétisé. Quelque soit la méthode de détermination des champs de vitesse et de pression du fluide, l'augmentation du nombre de Reynolds implique un agrandissement indubitable de la taille du domaine. Ce qui revient à accroître la durée de la simulation ainsi que la demande en ressources informatiques. Au contraire, dans le cas où la taille du domaine de calcul est petite, les frontières influenceront l'écoulement interne et pollueront le signal et les données de la simulation. Nous présentons une famille de conditions limites diffusives de sortie utile lors de simulations numériques d'écoulements fluides incompressibles sur des domaines sévèrement tronqués. La forme générale de ces conditions limites assure la stabilité des calculs et la précision des résultats, même lorsque l'écoulement provoque des tourbillons importants et des reflux de fluide à la frontière de sortie. Le code numérique employé pour traiter ce genre de cas est basé sur un schéma implicite fortement couplé et sur la méthode des éléments spectraux. La discrétisation temporelle est bâtie sur une heuristique adaptative en pas de temps et en ordre. Ce logiciel est interne à l'École Polytechnique de Montréal et en continuel développement. Le projet de ce mémoire est de mettre en oeuvre la famille de conditions limites et d'analyser les résultats de simulations à haut nombre de Reynolds d'un écoulement autour d'un cylindre carré en repère absolu et en repère relatif en translation. Dans un premier temps, nous vérifions et validons le code complet pour ensuite optimiser le choix des valeurs des paramètres de configuration. Puis, nous introduisons la théorie énergétique derrière les conditions limites diffusives et les implémentons numériquement. Nous effectuons alors de nombreux tests en repère absolu à divers nombres de Reynolds et sur différentes longueurs de domaine afin de comparer les résultats avec des valeurs provenant de la littérature. Finalement, nous simulons le phénomène des vibrations induites par vortex (VIV) autour d'un cylindre carré à Re = 500 sur un domaine sévèrement tronqué. L'analyse poussée de l'influence des conditions limites de sortie sur un tel phénomène amène à la conclusion suivante. Quelque soit la condition limite choisie, si la longueur du domaine est trop faible, alors les mouvements longitudinaux du solide seront forcément limités. En revanche, une légère perte en précision est acceptable face aux gains en temps et en ressources obtenus par la réduction de la taille du domaine de calcul et par l'imposition de conditions limites de sortie.

Abstract

When numerically analyzing the Navier-Stokes equations and the von Kármán streets, the typical approach is to compute the velocity and pressure fields on huge domains. Indeed the vortices generated by the obstacle last and dissipate only far downstream. But a vast geometry involves a mesh containing hundreds of thousands of nodes, thus resulting in both time- and resource-consuming simulations. We present a generalized form of outflow boundary conditions for simulating incompressible flows on severely truncated domains. It ensures the energy stability of the system, even when strong vortices cross the outflow boundary. Our numerical algorithm used for treating such situations is based on the spectral element method implemented implicitely. The adaptative time discretization speeds up the data processing by choosing heuristically its time step size and its order. This software is the property of the École Polytechnique de Montréal and is in continuous development. Our goal is to implement the outflow boundary conditions and to analyze the simulations of fluid flows past a square cylinder at high Renolds numbers on a short geometry. After verifying and validating the software through simple examples, we introduce the boundary conditions. We simulate incompressible fluid flows around a square cylinder to evaluate the robustness and accuracy of these conditions. Finally, we solve fluid-structure problems and study the vortex-induced vibrations (VIV) phenomenon at Re = 500 on severely truncated domains. We show that the open boundary conditions and the numerical algorithm developed herein produce stable simulations in such simulations. But the user must find a balance between savings in time and computational resources and a slight loss of precision.