Wideband Transfer Function Identification Using MAGVF (Magnitude Vector Fitting) Method

La technique de lissage vectoriel («Vector Fitting»), lorsqu'elle est utilisée avec le modèle universel de ligne (ULM, «Universal Line Model»), sert à identifier les fonctions associées avec les lignes de transport et câbles, soit la fonction matricielle de propagation et l'admittance caractéristique, sous forme de fonctions de transfert dans le domaine fréquentiel. L'un des défis avec cette technique est relié aux calculs complexes requis pour estimer les délais de la fonction de propagation avant d'identifier ses pôles. Cette mémoire examine la technique de lissage vectoriel de magnitude («Magnitude Vector Fitting» ou «magVF») par rapport à la technique de lissage vectoriel dans l'identification des fonctions modales de propagation. Les valeurs propres de la fonction matricielle de propagation correspondent aux fonctions modales de propagation et chacune des fonctions modales est associée avec un délai. Le modèle ULM propose que chacune des fonctions modales de propagation découplées est un système de phase minimum multiplié par un délai constant dans le domaine fréquentiel. La méthode de lissage vectoriel est utilisée pour obtenir la fonction de transfert des fonctions modales en solutionnant deux équations linéaires séquentielles de moindres carrés. Néanmoins, une approche itérative bouclée doit être utilisée afin de trouver un délai adéquat, tout en minimisant l'erreur d'approximation. Alternativement, la technique de lissage vectoriel de magnitude est basé sur la technique de lissage vectoriel mais utilise des fonctions de base symétriques pour effectuer le lissage sur une réponse particulière: carrée de la magnitude.Naturellement, l'effet du délai disparait lors de la construction de la réponse à partir de la carrée de magnitude comme entrée pour le lissage. L'utilisation de la technique de lissage vectoriel de magnitude ne nécessite donc pas l'estimation des délais. Le délai d'une fonction modale peut se trouver suite au lissage en faisant des comparaisons de phase entre la fonction obtenue et la fonction originale. Une fois toutes les fonctions modales de propagation sont identifiées avec une tolérance d'erreur prédéfinie, le modèle ULM permet l'utilisation des pôles et délais pour résoudre un dernier problème de moindres carrés afin d'obtenir les résidus de la matrice de propagation dans le domaine de phase. Afin d'améliorer la qualité et la stabilité d'approximation, une approche de pondération est présentée dans cette étude pour dériver une méthode de lissage vectoriel pondéré de magnitude. Cette étude compare l'algorithme de lissage vectoriel de magnitude avec celui de lissage vectoriel, avec et sans pondération, en faisant des comparaisons en utilisant des vrais données de lignes de transmission. Cette recherche démontre que même si l'algorithme de lissage vectoriel de magnitude élimine le besoin d'estimer les délais avant le lissage, il exige quand même un calcul supplémentaire pour tenir compte des problèmes numériques. Une étape de modification de pôles à l'entrée est proposée dans ce travail afin de soulager les problèmes numériques.Il est observé qu'il est possible d'identifier les fonctions modales de propagation par des fonctions de phase minimum avec la méthode de lissage vectoriel de magnitude; par contre, le lissage vectoriel ne garantit pas des systèmes de phase minimum. Il est aussi démontré que les problèmes numériques sont plus manifestants dans le cas des câbles où la dépendance fréquentielle des paramètres est plus importante et complexe.

Abstract

Vector Fitting (VF), when employed with the Universal Line Model (ULM), can be used for approximating system equations of multi-conductor power transmission lines and cables, by helping to identify the propagation matrices and characteristic admittances. However, one of the challenges posed by this technique is the additional computational logic required to estimate the time-delays associated with the modal propagation transfer functions in the frequency domain, prior to arriving at a suitable estimation for poles and residues.This thesis examines Magnitude Vector Fitting (magVF) as an alternative to VF for the fitting of propagation modes. The ULM employs frequency domain decomposition of n-conductor transmission lines or cables into n-propagation modal propagation functions, each of which has an associated delay. This model proposes that the decoupled modal propagation functions are time-delayed minimum-phase systems in the frequency domain. The VF method is used to fit the individual modal equations in residues-poles form using two sequential linear least-squares problems, but an iterative approach must be employed in order to first establish a suitable time delay while minimizing error in the fitter. Alternatively, magVF is an algorithm based on VF that uses symmetric basis functions to perform least-squares fitting based on a given squared-magnitude response. Any effect from the delays on the phase is cancelled during the construction of the magnitude-squared response used as input for the fitter. Naturally, the effect of the delays disappears during the construction of the magnitude-squared response. Using magVF does not, therefore, require estimation of time-delays before getting a successful magnitude-squared fit. The time delay of a modal propagation function can then be directly identified by comparing the phase of the resulting fit with that of the desired response. Once all modal propagation functions have been fit within a suitable margin of error, then the ULM model allows the discovered poles and time-delays to be used to solve a final least-squares problem to get the residues of the phase-domain propagation matrix.A weighting technique that improves the iterative stability and numerical precision of the magVF algorithm known as Weighted Magnitude Vector Fitting (WmagVF) is presented in this study. This study compares the magVF algorithm with the VF one, with and without weighting, and tested against practical transmission line data. This research demonstrates that although the magVF algorithm eliminates the need for doing time-delay estimation prior to fitting, it does require additional logic for dealing with some problems that can arise numerically, making it difficult to implement for certain cases. An Input Pole Modification (IPM) step is proposed and demonstrated. Details are provided for the algorithms of these methods, and results are presented relative to practical transmission line frequency spectrum data.It is observed that while magVF restricts the resulting propagation mode equation to be minimum-phase, VF does not guarantee minimum-phase systems. It is also shown that numerical problems are more apparent in cable cases, where the frequency dependence of the fitting parameters becomes more important and complex.