Développement d'estimateurs d'erreur pour la méthode de volumes finis appliquée aux équations d'Euler

Le sujet de ce mémoire est la simulation numérique des écoulements régis par les équations d'Euler. Les équations d'Euler sont utilisées pour obtenir des solutions des écoulements nonvisqueux, compressibles et rotationnels. La stratégie numérique de résolution utilisée consiste à discrétiser les équations par la technique de volumes finis, à l'aide d'éléments triangulaires. Pendant tout ce travail on a poursuivi deux objectifs principaux. Premièrement, on propose des méthodes robustes de prédiction pour des écoulements compressibles subsoniques et supersoniques ainsi que pour des écoulements avec des discontinuités comme les ondes de choc. Deuxièmement, mais le plus important, on présente un estimateur d'erreur basé sur l'analyse a posteriori de la solution. Les méthodes de calcul proposées sont basées sur une technique de volumes finis du premier ou du deuxième ordre dans l'espace et sur une discrétisation explicite dans le temps, qui utilise des ressources informatiques moins importantes qu'une discrétisation implicite même si l'avancement de la solution dans le temps est moins rapide. Pour évaluer le flux à l'interface des éléments on utilise un schéma basé sur le solveur de Roe qui consiste à. trouver la solution exacte au problème approché de Riemann. Ce schéma amont satisfait implicitement les conditions de Rankine-Hugoniot à travers un choc et ne demande pas de viscosité artificielle explicite. L'amélioration de la précision a nécessité l'extension du schéma à, un ordre supérieur, en utilisant plusieurs techniques de reconstruction de la solution. On a fait des comparaisons entre les différentes techniques utilisées en calculant les erreurs par rapport aux solutions analytiques et le taux de convergence pour chaque méthode. Pour accélérer la convergence on utilise une technique multi-grille par agglomération. On désire développer une méthode adaptative qui utilise l'estimation d'erreurs dans la solution numérique. L'estimateur d'erreur proposé est basé sur la technique d'extrapolation de Richardson et il peut être utilisé pour un facteur de raffinement quelconque. Premièrement, on détermine le taux de convergence à l'aide de trois solutions obtenues sur des maillages différents et deuxièmement on évalue les erreurs sur les trois maillages. Par la suite, on présente une procédure d'adaptation du maillage basée sur le critère de l'uniformisation de l'erreur dans le domaine de calcul. On présente des simulations d'écoulements compressibles subsoniques (problème de Ringleb), d'écoulements supersoniques sans ondes de choc (Vortex supersonique) et avec ondes de choc, dont on a trouvé les solutions analytiques. À la fin, on applique la méthodologie développée pour un écoulement autour du profil NACA — 0012.

Abstract

The subject of this master's thesis is the numerical simulation of flows governed by the Euler equations. The Euler equations, directly obtained by means of the Navier - Stokes equations ignoring the terms of the viscous dissipation, are used to obtain solutions of non-viscous, compressible and rotational flows. The numerical solution strategy consists in the discretisation of the equations by means of finite-volume technique using triangular elements. During this work, two main objectives were considered. We tried first to propose some robust prediction methods for compressible subsonic and supersonic flows and for flows with discontinuities such as shock waves. But, mainly, we tried to develop an error estimator based on a posteriori analysis of the solution. The computational methods showed are based on a finite volumes technique of first or second order in space solved using an explicit time discretisation. This technique uses low computational resources compared to the implicit discretisation, but the convergence of the solution in time is not as fast. The flux across the cell faces is evaluated using a scheme based on Roe's solver which applies an exact solution to the linearized Riemann problem. This upwind scheme satisfies implicitly the Rankine - Hugoniot conditions across a shock wave and doesn't require an explicit artificial viscosity. The improvement of the accuracy requires the extension of the scheme at a higher order. This is accomplished using several reconstruction techniques of the solution. We compare the different techniques employed by computing the numerical solution errors and comparing to the analytical solution and also by computing the convergency rate for each method. In order to accelerate the convergence, we have used a multi-grid agglomeration technique. Most of the adaptive methods needs an estimation of the error in the numerical solution. The error estimator proposed in this work is based on Richardson extrapolation technique and it can be used for any refinement factor. First, we have to establish the convergence rate by using three solutions obtained on different grids and subsequently we can estimate the errors on the three grids. We propose after that an adaptive method based on the uniformization of the error in the computational domain. Several simulations including Ringleb subsonic flow, supersonic flows without shock waves (Supersonic Vortex), supersonic flows with shock waves (wedge), are presented in this study. Finally, the coupled grid adaptation - error estimation procedure was applied to the computation of the flow field around the NACA - 0012 profile.------------CONTENU Les équations d'Euler -- Schémas numériques de discrétisation -- Calcul des erreurs exactes et évaluation du taux de convergence -- L'estimateur d'erreur -- Méthodes d'adaptation du maillage -- Applications -- Test -- Formulation mathématique et numérique du problème -- Les équations d'Euler -- Discrétisation des équations d'Euler -- Extension du schéma de Roe au deuxième ordre -- Estimation de l'erreur et adaptation du maillage -- Taux de convergence -- La technique de transfert de la solution entre deux maillages -- Estimateur de l'erreur -- Adaptation du maillage -- Résultats pour le problème de Ringleb -- Résultats pour le problème de confluence de deux écoulements supersoniques -- Résultats pour un écoulement autour du profil NACA-0012.