Commande optimale de processus de diffusion avec paramètres aléatoires ou avec sauts

Les travaux de recherche de cette thèse portent sur la résolution de différents problèmes de commande optimale stochastique pour un processus de diffusion unidimensionnel qui est commandé jusqu'à atteindre l'une ou l'autre des extrémités d'un intervalle. L'objectif est de minimiser l'espérance mathématique de la fonction de coût total qui inclut les coûts quadratiques par rapport à la variable de commande cumulés dans l'intervalle et le coût à l'état final. Le temps final auquel le processus quitte cet intervalle est appelé l'instant de premier passage, qui est aléatoire. Whittle [1] a étudié ce type de problème et il l'a appelé LQG homing. Pour un tel problème, nous avons obtenu différentes commandes optimales approximatives dans le cas où le processus de diffusion est le processus de Wiener avec des paramètres infinitésimaux aléatoires en traitant le problème de premier passage. Nous avons également traité le problème dans le cas du processus d'Ornstein-Uhlenbeck (O-U) et nous avons pu trouver une forme générale de la commande optimale exacte en fonction des paramètres du problème LQG homing. À la fin, nous traitons le problème de commande optimale stochastique dans le cas des processus de diffusion avec sauts et nous déterminons une solution exacte lorsque l'amplitude des sauts est déterministe.

Abstract

This thesis deals with solving different stochastic optimal control problems for a one-dimensional diffusion process which, in the applications considered, is controlled until it reaches either of the limits of an interval. The aim is to minimize the expected value of a cost criterion with quadratic control costs on the way and a final cost. The final time when leaving this interval is called the random first passage time. Whittle [1] considered this type of problem, which he called LQG homing. For such a problem, having an exact solution even for a particular case is usually very difficult. In our work, we have obtained different approximate optimal controls when the diffusion process is a Wiener process with random infinitesimal parameters. We also treated the same problem in the case of the Ornstein-Uhlenbeck process, and we were able to find the general form of the exact optimal control depending on the parameters of the LQG homing problem. We treat in the last chapter the case of jump-diffusion processes optimal control problem for which we determine the exact solution when the jump amplitude is deterministic.