Étude de méthodes d'intégration temporelle non linéaire, A-stable et d'ordre élévé à correction différée

En mécanique des fluides, les problèmes sont souvent raides, comme notamment ceux liés aux équations de Navier-Stokes, rendant les calculs numériques généralement instables. Il existe tout de même quelques méthodes d’intégrations temporelles stables telles que les méthodes BDF (Backward Differentiation Formulae) d’ordre 1 et 2. Cependant, la précision de ces méthodes est donc limitée. Ce document présente alors une méthodologie permettant d'augmenter progressivement l'ordre de ces deux méthodes à partir de corrections différées tout en conservant l'avantage de leurs stabilités inconditionnelles. La stratégie adoptée consiste à substituer progressivement les termes dominants de l’erreur locale de troncature dans l’expression initiale des méthodes BDF1 et BDF2. Le terme substitué est alors la correction, interpolée par un polynôme de Newton basé sur la solution obtenue à partir de la méthode d’ordre inférieur, censée être la plus précise. Par récursivité de leurs constructions, il est démontré que l'ordre p de ces méthodes, appelées 〖DC〗_p, peut être augmenté indéfiniment, permettant alors de dépasser la limite théorique des méthodes BDF. En effet, au-delà de l'ordre 6, les méthodes BDF ne sont plus A-stable, devenant inutilisables. Pour donner suite à ce développement théorique, des tests numériques ont été menés démontrant progressivement la capacité de ces méthodes en la résolution d'équations aux dérivées ordinaires (EDO), d'équations aux dérivées partielles paraboliques (EDP) 1D puis 2D ainsi que les équations de Navier-Stokes. Ces études numériques ont été effectuées avec des méthodes allant jusqu'à l'ordre 5, suffisant pour observer le comportement général de ces méthodes. Cette limitation en ordre permet aussi de réduire la complexité de mise en œuvre ainsi que le coût de calcul. En effet, la correction différée d’ordre p est interpolée à partir des solutions d’ordre p-1. Ainsi, plus cet ordre est élevé, plus il est nécessaire de conserver des solutions antérieures, augmentant ainsi le coût de calcul. Dans l’optique de limiter celui-ci, il est ambitionné de construire un algorithme à pas de temps adaptatifs afin de minimiser le nombre d’étapes de temps. Avant cela, la robustesse des méthodes quant à l'évolution des pas de temps est vérifiée. Pour les EDP, il s'avère que la configuration la plus délicate survient lorsque l'évolution des pas de temps est brusque. Cela entraîne des pertes de précision pour les méthodes dont les ordres théoriques sont les plus élevés. Ces pertes de précision sont encore plus importantes lorsque les conditions limites sont dépendantes du temps du fait d'une concentration des erreurs aux bords. La méthode de Verwer permet alors d'améliorer la précision des méthodes sans résoudre parfaitement ce phénomène de perte d'ordre. Finalement, il est démontré l'importance des paramètres propres aux problèmes révélant ou inhibant ce comportement encore incompris. Cependant, celui-ci apparaît pour une configuration extrême dans laquelle les pas de temps sont alternés. Seule configuration problématique. En prêtant une attention particulière à l'évolution des pas de temps, leurs adaptations semblent envisageables, limitant ainsi le coût de calcul des méthodes DC/BDF.

Abstract

In fluid mechanics, problems are often stiff, such as those related to the Navier-Stokes equations, making numerical calculations generally unstable. There are, however, a few stable time integration methods, such as the 1st and 2nd order BDF (Backward Differentiation Formulae). However, the accuracy of these methods is limited. This document therefore presents a methodology for progressively increasing the order of these two methods using deferred corrections, while retaining the advantage of their unconditional stability. The strategy adopted consists in successively substituting the dominant terms of the local truncation error in the initial expression of the BDF1 and BDF2 methods. The substituted term is then the correction, interpolated by a Newton polynomial based on the solution obtained from the lower-order method, assumed to be the most accurate. By recursively of their constructions, it is shown that the order p of these methods, called 〖DC〗_p, can be increased indefinitely, thus exceeding the theoretical limit of BDF methods. Indeed, beyond order 6, BDF methods are no longer A-stable, becoming unusable. Following this theoretical development, numerical tests were carried out progressively demonstrating the ability of these methods to solve ordinary differential equations (ODEs), 1D then 2D parabolic partial differential equations (PDEs) and Navier-Stokes equations. These numerical studies were carried out with methods up to order 5, sufficient to observe the general behaviour of these methods. This limitation in order also makes it possible to reduce the complexity of implementation as well as the computational cost. Indeed, the deferred correction of order p is interpolated from solutions of order p-1. The higher the order, the greater the need to retain previous solutions, thus increasing the computational cost. In order to limit the latter, we aim to build an algorithm with adaptive time steps to minimize the number of time steps. Prior to this, the robustness of the methods with respect to the evolution of time steps is verified. For PDEs, it turns out that the most delicate configuration occurs when the evolution of time steps is abrupt. This leads to accuracy losses for methods with the highest theoretical orders. These accuracy losses are even greater when the boundary conditions are time-dependent, as errors are concentrated at the edges. In this case, Verwer's method improves the accuracy of the methods, without perfectly resolving this loss-of-order phenomenon. Finally, the importance of problem-specific parameters in revealing or inhibiting this as yet misunderstood behaviour is revealed. However, it appears for an extreme configuration in which time steps are in alternating sequence. This is the only problematic configuration. By careful attention to the evolution of the time steps, their adaptation seems viable, thus limiting the computational cost of the DC/BDF methods.