Optimisation topologique pour le dimensionnement d'échangeurs de chaleur géothermiques

Les systèmes géothermiques sont en mesure de combler des besoins en chauffage et en climatisation en permettant les échanges thermiques entre le sol et les bâtiments auxquels ils sont couplés. Cela se fait typiquement au moyen d'échangeurs de chaleur forés dans le sol et d'une pompe à chaleur qui est elle-même reliée au bâtiment. Un seul forage, ou puits géothermique, n'est généralement pas suffisant pour répondre à cette demande, surtout lorsqu'ils sont utilisés pour des applications commerciales. Plusieurs puits géothermiques peuvent donc être nécessaires formant alors un champ de puits géothermique. Un fluide circule entre les puits et la pompe à chaleur. C'est ce fluide qui permet le transfert de chaleur avec le sol. Un deuxième circuit reliant la pompe à chaleur avec le bâtiment permet ensuite le transfert de chaleur avec le bâtiment. Afin de répondre à une certaine demande énergétique, l'échangeur doit être dimensionné de façon adéquate. Il faut donc déterminer le nombre de puits ainsi que la position et la longueur des puits qui permettra de combler la demande, tout en essayant de réduire au maximum le coût de construction qui est lié entre autres à la longueur totale de forage. Il faut également s'assurer que le fluide qui circule dans les puits soit maintenu à l'intérieur d'une certaine plage de température pour s'assurer du bon fonctionnement du système. Lorsque plusieurs puits sont positionnés à proximité, ils interagissent entre eux. Ce phénomène doit être pris en considération lors du dimensionnement car il affecte directement le nombre de puits qui seront requis. Les méthodes de dimensionnement conventionnelles cherchent généralement à évaluer la longueur minimale requise pour un nombre et une configuration de puits prédéterminés, et qui est généralement régulière, donc avec un espacement constant entre les puits. Le positionnement des puits n'est pas optimisé avec cette façon de faire et repose sur le concepteur. L'objectif du présent travail est donc de trouver une façon de contrer ce problème en développant une méthode de dimensionnement d'échangeurs de chaleur géothermiques qui utilise les principes d'optimisation topologique pour optimiser la position des puits. L'optimisation topologique trouve ses origines dans le domaine des structures mécaniques et est une manière de déterminer la distribution de matière qui permet de maximiser les performances structurelles. La majorité des méthodes d'optimisation topologique demande de discrétiser un domaine en plusieurs éléments. Le problème demande ensuite une certaine formulation qui, jumelée à un algorithme d'optimisation robuste, permettra de déterminer quels éléments contiendront de la matière. Les algorithmes les plus efficaces utilisent les dérivées des fonctions qui composent le problème. La formulation qui est choisie doit donc tenir compte du fait que des dérivées devront être calculées tout au long du processus d'optimisation. Le problème de dimensionnement formulé est contraint par la température du fluide qui circule dans les puits pour les deux modes de fonctionnement. Le calcul de cette température se fait par l'entremise de l'équation gouvernant la méthode alternative de l'ASHRAE, fréquemment utilisée dans le dimensionnement des champs de puits. Cette méthode tient compte des interactions thermiques entre les puits par l'évaluation de g-functions qui sont des facteurs de réponse thermique adimensionnels. Un autre objectif du projet consiste à adapter la méthode alternative de l'ASHRAE afin d'être compatible avec les problèmes d'optimisation topologique. Pour ce faire, une variable représentant le facteur de présence d'un puit géothermique a été introduite et est prise en compte dans le calcul des g-functions. Les g-functions sont évaluées par une superposition de la source ligne finie et sont basées sur une condition frontière de flux de chaleur constant pour tous les puits du domaine. Cette condition permet de faciliter le calcul des dérivées de la g-function, mais elle est moins précise que d'autres conditions frontières. Un terme de pénalité de température est donc évalué afin de tenir compte des différences entre l'approximation qui est faite de la g-function, et la g-function de référence. Une formulation analytique de la g-function pour une condition de température de fluide constante entre les puits est proposée et permet une représentation plus juste des échanges thermiques entre les puits.

Abstract

Geothermal systems are able to satisfy heating and cooling demands by providing a way to exchange thermal energy between the soil and the buildings they are attached to. These systems are usually equipped of ground heat exchangers, which are drilled in the ground, and ground-source heat pumps, which are connected with the building. Using only one ground heat exchanger, or borehole, is typically not enough to fulfill the energy demand, especially in commercial applications. Multiple ground heat exchangers are therefore necessary forming a geothermal bore field. A fluid circulates in a loop connecting the bore field and the heat pump, and using the ground either as a heat source or a heat sink to transfer the heat between the soil and the heat pump. A second loop connects the heat pump to the building. It is in this second loop that the heat is exchanged between the heat pump and the building. The ground heat exchanger has to be sized according to the energy demand it is used for. It is therefore necessary to evaluate the number of boreholes, as well as their positions and lengths, that will fulfill the desired needs, while also reducing the construction costs as much as possible. The construction cost is highly dependent on the total drilling length. It is also necessary to ensure that the temperature of the fluid circulating in the boreholes is constrained in heating and in cooling mode to maintain the safe operation of the system. Thermal interactions occur between the boreholes when they are positioned close to each other, and this effect has to be taken into account when sizing the bore field as it directly affects the number of boreholes required. The most common methods for sizing bore fields typically calculate the total drilling length required to fulfill the demand for a given configuration of boreholes. This configuration is often regular, meaning that the spacing between the boreholes is constant in all directions. The designer is tasked in finding the configuration that will minimize the number of boreholes as much as possible, as these methods do not take this factor into account. The objective of this work is therefore to provide a solution to this problem by developing a method to size ground heat exchangers that uses the principles of topology optimization to optimize bore field configurations. Topology optimization was first developed for the optimization of mechanical structures as a way to maximize the structural performances by strategically placing the material. Most topology optimization methods work on discretized domains. Topology optimization problems require a specific formulation depending on the approach. The problem is then solved using robust optimization algorithms that are for the most part gradient-based. The derivatives of the functions used to define the problem are therefore required to perform the optimization, and this has to be taken into account when formulating the problem. The proposed optimization problem minimizes the required number of boreholes, while being constrained by the average temperature of the fluid circulating in the boreholes. The alternative ASHRAE sizing method, which is a common sizing method, is used to evaluate this temperature for any given configuration. The method uses g-functions, which are dimensionless thermal response factors, to measure the thermal interactions between the boreholes. Another objective of the project is to adapt the alternative ASHRAE sizing method in order to be compatible with the formulation of topology optimization problems. A variable defined as the borehole presence fraction is introduced for this purpose and is used in the evaluation of the g-functions. The g-functions are evaluated based on the superposition of the finite line source solution for a uniform heat transfer rate condition on all boreholes. This formulation of the g-function has the advantage of being easily differentiable, but is not as precise as other boundary conditions frequently encountered. A temperature penalty factor is evaluated for this purpose and is used to account for the differences between the first approximation of the g-functions and the reference g-function. An analytical formulation of the g-function for an average fluid temperature condition is proposed and provides a more precise approximation of the g-functions.