Une application de la méthode des vitesses et de l'interpolation transfinie à la modélisation de l'interaction fluide-structure d'un cylindre circulaire

Les problèmes d'interactions fluide-structure (IFS) sont un sujet d'étude très actuel tant pour les nombreuses applications existantes que pour les défis de modélisation qu'ils représentent. L'objet de ce mémoire est l'étude d'une sous-classe de problèmes d'IFS soit les vibrations induites par vortex (VIV). Il existe plusieurs approches pour résoudre ce genre de problème dont une qui se nomme le repère accéléré et qui est présentement implémenter dans le programme d'éléments finis du laboratoire. Or, cette méthode, bien qu'efficace et fonctionnelle, manque de généralité pour traiter de cas plus complexes. Le but sera donc de développer une formulation plus générale basée sur une approche de maillage mobile. Des nombreuses méthodes de maillage mobile qui existent, une sous-catégorie semble plus adaptée à la tâche à accomplir, soit la sous-catégorie des méthodes algébriques. Ces méthodes ne modifient pas les structures de données du programme au cours de la simulation et ne nécessitent pas la résolution d'équations aux dérivées partielles. Ces deux avantages en font des méthodes assez rapides d'un point de vue calcul. De plus, ce sont des méthodes récentes et donc très intéressantes d'un point de vue recherche. Avant d'appliquer directement ces méthodes aux problèmes de VIV, il est nécessaire de bien comprendre le comportement de chacune d'entre elles. Un premier tri a été fait et trois méthodes sont retenues pour être étudiées plus en profondeur : les méthodes RBF, IDW et ITM. À partir des méthodes RBF et IDW, deux nouvelles méthodes transfinies de déplacement des nœuds ont été formulées : la méthode TRBF et la méthode ITB. Ces deux nouvelles méthodes sont le penchant transfini des méthodes originales. Un programme de démonstration avec les cinq méthodes a été codé pour faire des tests initiaux. Dans ces tests, le déplacement des différents objets est prescrit par une fonction analytique et la validité géométrique des éléments du maillage est vérifiée à chaque étape de la simulation. De cette première série de tests, un constat important pour l'implémentation a été tiré : même si aucune méthode ne semble plus robuste, les méthodes transfinies (ITM, ITB et TRBF) sont préférées aux méthodes sur un nuage de points (IDW et RBF). Les méthodes transfinies peuvent prendre avantage des macro-éléments pour représenter l'objet en moins d'éléments. Une fois les méthodes de déplacement des nœuds étudiées, le système monolithique complet modélisant le phénomène des VIV peut être mis en place. Les équations de Navier-Stokes en formulation ALE sont utilisées pour modéliser le comportement du fluide. Pour modéliser le solide, l'équation masse-ressort-amortissement est choisie. Le couplage entre le fluide et le solide est fait à l'aide de multiplicateurs de Lagrange. Deux autres équations sont ajoutées au système pour modéliser le mouvement de la frontière solide de l'objet. Finalement, une formulation, à ne pas confondre avec la méthode, est aussi nécessaire pour le déplacement des nœuds. Deux formulations ont été utilisées dans les simulations. La première, basée sur une approche temporelle, avait des problèmes d'hystérésis. Au fur et à mesure de la simulation, les erreurs d'arrondi sur l'intégration de la position des nœuds s'accumulent et le maillage se dégrade jusqu'à l'inversion d'un élément en plein milieu de la simulation. La deuxième, basée sur la position initiale de l'objet pour le calcul du déplacement, fonctionne sans problème. Puisque le calcul se fait toujours à partir de la position initiale, l'erreur ne s'accumule pas entre les étapes de temps.

Abstract

Fluid-structure interaction problems (IFS) are a very current subject of study both for the many existing applications and for the modeling challenges they represent. The purpose of this dissertation is to study a subclass of IFS problems, vortex-induced vibrations (VIV). There exist several approaches to solve this kind of problem including one which is called the accelerated reference frame, and which is currently implemented in the finite element program of the laboratory. This method, although effective and functional, lacks generality for dealing with more complex cases. The goal will therefore be to develop a more general formulation based on a mobile mesh approach. Of the many mobile mesh methods that exist, a subcategory seems more suited to the task at hand, namely the algebraic methods. These methods do not modify the data structures of the program during simulation and do not require the resolution of partial differential equations. These two advantages make them fairly fast methods from a calculation standpoint. In addition, these are recent methods and therefore very interesting from a research standpoint. Before applying these methods directly to VIV problems, it is necessary to understand the behavior of each of them. A first sort has been made and three methods are selected for further study: the RBF, IDW and TMI method. From the RBF and IDW methods, two new transfinite node displacement methods have been formulated: the TRBF method and the TBI method. These two new methods are the transfinite penchant of the original methods. A demonstration program with the five methods has been coded to do initial tests. In these tests, the displacements of the various objects is prescribed by an analytical function and the geometrical validity of the elements is checked at each stage of the simulation. From this first battery of tests, an important observation for the implementation was drawn: even if no method seems more robust, transfinite methods (TMI, TBI and TRBF) are preferred to methods on a scatter (IDW and RBF). Transfinite methods can take advantage of macro-elements to represent the object in fewer elements. Once the node displacement methods have been chosen, the complete monolithic system modeling the VIV phenomenon can be implemented. The Navier-Stokes equations in ALE formulation are used to model the behavior of the fluid. To model the solid, the mass-spring-damping equation is chosen. The coupling between the fluid and the solid is made using a Lagrange multiplier. Two other equations are added to the system to take into account the movement of the solid boundaries of the object. Finally, a formulation, not to be confused with the method, is also necessary for the displacement of the nodes. Two formulations were used in the simulations. The first, based on a time approach, had hysteresis problems. As the simulation progresses, the rounding errors on the integration of the position of the nodes accumulate and the mesh degrades until the inversion of an element in the middle of the simulation. The second, based on the initial position of the object for the displacement calculation, works without problems. Since the calculation is always done from the initial position, the error does not accumulate between the time steps.