Calcul et analyse de sensibilité des écoulements à surface libre

Dans ce projet, nous développons une méthode de calcul précise et rapide pour les écoulements à surface libre et une méthode des sensibilités lagrangiennes adaptées à ce type d'écoulements. Les écoulements à surface libre sont très courants dans la nature et dans les applications industrielles. Leur compréhension est indispensable pour le design de structures offshore par exemple. Cependant, leur simulation numérique reste difficile car la géométrie du domaine fluide est une inconnue du problème. De nombreuses techniques ont été développées mais les calculs prenant en compte toutes les caractéristiques de l'écoulement, comme la viscosité, la répartition horizontale des vitesses et de la pression deviennent souvent trop coûteux pour atteindre une précision suffisante. Dans ces conditions, la méthode des sensibilités est un outil très intéressant car elle permet de calculer les dérivées de l'écoulement par rapport aux paramètres de design. Les sensibilités peuvent donc être utilisées pour calculer rapidement le gradient de fonctions objectifs requis par la plupart des algorithmes d'optimisation, pour identifier les paramètres clé d'un système ou encore pour faire une analyse d'incertitude. L'écoulement est calculé grâce à une formulation arbitrairement lagrangienne-eulérienne des équations de Navier-Stokes. Le domaine de calcul suit donc la forme de la surface libre, ce qui permet de connaître sa géométrie avec précision. Le maillage est déformé grâce à une approche pseudo-solide. Des schémas temporels de Runge-Kutta d'ordre élevé permettent d'améliorer la précision des calculs. Pour la discrétisation spatiale, on utilise la méthode des éléments finis avec des éléments de Taylor-Hood ou des éléments P1-P1 avec une stabilisation de type SUPG/PSPG pour pouvoir faire des calculs à haut Reynolds sans oscillations numériques. Afin de satisfaire la loi de conservation géométrique et donc conserver l'ordre de précision temporel sur maillage déformable, la formulation variationnelle du problème doit être conservative et le calcul des vitesses de maille doit être consistant avec le schéma temporel choisi. Les sensibilités sont calculées grâce à un point de vue lagrangien. On calcule donc les dérivées totales des variables par rapport au paramètre, c'est à dire que l'on tient compte de la dépendance du domaine fluide par rapport au paramètre. Les conditions limites sont alors simples, même si la frontière subit des déformations. Les équations des sensibilités sont obtenues en dérivant la formulation faible de l'écoulement. Pour la résolution, les méthodes numériques sont les mêmes que pour l'écoulement. La méthode est ensuite vérifiée grâce à la méthode des solutions manufacturées. On vérifie alors, pour chaque schéma temporel et pour chaque type d'éléments, que l'ordre de convergence observé est bien conforme avec l'ordre théorique de la méthode.