Calcul et analyse de sensibilité des écoulements à surface libre

Dans ce projet, nous développons une méthode de calcul précise et rapide pour les écoulements à surface libre et une méthode des sensibilités lagrangiennes adaptées à ce type d'écoulements. Les écoulements à surface libre sont très courants dans la nature et dans les applications industrielles. Leur compréhension est indispensable pour le design de structures offshore par exemple. Cependant, leur simulation numérique reste difficile car la géométrie du domaine fluide est une inconnue du problème. De nombreuses techniques ont été développées mais les calculs prenant en compte toutes les caractéristiques de l'écoulement, comme la viscosité, la répartition horizontale des vitesses et de la pression deviennent souvent trop coûteux pour atteindre une précision suffisante. Dans ces conditions, la méthode des sensibilités est un outil très intéressant car elle permet de calculer les dérivées de l'écoulement par rapport aux paramètres de design. Les sensibilités peuvent donc être utilisées pour calculer rapidement le gradient de fonctions objectifs requis par la plupart des algorithmes d'optimisation, pour identifier les paramètres clé d'un système ou encore pour faire une analyse d'incertitude. L'écoulement est calculé grâce à une formulation arbitrairement lagrangienne-eulérienne des équations de Navier-Stokes. Le domaine de calcul suit donc la forme de la surface libre, ce qui permet de connaître sa géométrie avec précision. Le maillage est déformé grâce à une approche pseudo-solide. Des schémas temporels de Runge-Kutta d'ordre élevé permettent d'améliorer la précision des calculs. Pour la discrétisation spatiale, on utilise la méthode des éléments finis avec des éléments de Taylor-Hood ou des éléments P1-P1 avec une stabilisation de type SUPG/PSPG pour pouvoir faire des calculs à haut Reynolds sans oscillations numériques. Afin de satisfaire la loi de conservation géométrique et donc conserver l'ordre de précision temporel sur maillage déformable, la formulation variationnelle du problème doit être conservative et le calcul des vitesses de maille doit être consistant avec le schéma temporel choisi. Les sensibilités sont calculées grâce à un point de vue lagrangien. On calcule donc les dérivées totales des variables par rapport au paramètre, c'est à dire que l'on tient compte de la dépendance du domaine fluide par rapport au paramètre. Les conditions limites sont alors simples, même si la frontière subit des déformations. Les équations des sensibilités sont obtenues en dérivant la formulation faible de l'écoulement. Pour la résolution, les méthodes numériques sont les mêmes que pour l'écoulement. La méthode est ensuite vérifiée grâce à la méthode des solutions manufacturées. On vérifie alors, pour chaque schéma temporel et pour chaque type d'éléments, que l'ordre de convergence observé est bien conforme avec l'ordre théorique de la méthode.

Abstract

In this project, we develop a methodology for rapid and accurate free-surface flow simulation and a Lagrangian sensitivity equation method suited to this type of flow. Free-surface flows are very common in nature and in industrial applications. Their understanding is essential for example, for the design of offshore structures. However, their numerical simulation is difficult because the geometry of the fluid domain is part of the problem. Many techniques have been developed but the simulations taking into account all the characteristics of the flow, such as viscosity, the horizontal distribution of velocity and pressure are costly to achieve sufficient accuracy. Thus, the sensitivity equation method is a very interesting tool because it computes the derivatives of the flow with respect to design parameters. Sensitivities provide quick evaluation of gradients of objective functions required by most optimization algorithms and a better understanding of the flow by answering “what if?” questions. The flow is calculated using an arbitrary Lagrangian-Eulerian formulation of the Navier-Stokes equations. The computational domain follows the shape of the free surface. Hence,its geometry is exactly known. The mesh is deformed with a pseudo-solid approach. We use high order Runge-Kutta schemes for time integration and the finite element method with Taylor-Hood or P1-P1 elements for the spatial discretization. Special attention must be paid to the variational formulation of the Navier-Stokes equations and to the computation of the mesh velocity to satisfy the Geometric Conservation Law (GCL). The GCL ensures that the fixed mesh order of accuracy of the time integrator is preserved on moving meshes. We use SUPG/PSPG stabilization with P1-P1 elements to compute high Reynolds numbers simulation and to ensure that no numerical oscillations occur. Sensitivities are calculated using a Lagrangian point of view. Total derivatives of the variables with respect to the parameter are computed, ie we take into account the dependence of the fluid domain with respect to the parameter. This method leads to simple and exact boundary conditions on moving domain. The sensitivity equations are obtained by differentiating the weak formulation of the flow. Similar numerical methods are used for the flow and for the sensitivities. The method is then verified with the method of manufactured solutions. We check that for each temporal scheme and for each type of element, the observed convergence rate is consistent with the theoretical one. It is shown that the stabilization terms do not prevent the satisfaction of the geometric conservation law. Moreover the sensibilities have the same convergence rate as the flow. The 3rd and 5th order accurate Runge-Kutta schemes achieve better temporal accuracy with 100 times larger time steps than the implicit Euler scheme, which significantly reduces the computation cost.