Méthodes mises à l'échelle pour la reconstruction tomographique en coordonnées cylindriques

Nous traitons le problème de reconstruction d'image en tomographie à rayons X. La re-construction d'une image par une approche statistique requiert la résolution d'un problème d'optimisation convexe de grande taille à contraintes de bornes. La discrétisation de l'image en coordonnées cylindriques permet d'économiser de la mémoire et de réduire le volume de calculs, mais dégrade significativement le conditionnement du problème de reconstruction. Pour mettre le problème à l'échelle, nous disposons d'un préconditionneur basé sur la structure bloc-circulante de la matrice du système qui apparaît en coordonnées cylindriques. La mise à l'échelle améliore considérablement la vitesse de reconstruction, à condition qu'on l'applique de manière appropriée. En particulier, on cherche à préserver les contraintes de bornes, car elles donnent lieu à des projections orthogonales peu coûteuses. Nous traitons le problème de reconstruction avec des méthodes d'optimisation à directions projetées, pour lesquelles on applique la mise à l'échelle aux directions de descente. Alors qu'en imagerie la mise à l'échelle est souvent diagonale, nous proposons une stratégie permettant d'utiliser notre préconditionnement non-diagonal dans le cadre des contraintes de bornes. Celle-ci se base sur des opérateurs de mise à l'échelle partiellement diagonaux définis en fonction des contraintes actives à l'itéré courant. Nous appliquons la mise à l'échelle à deux algorithmes, TRON, une méthode de Newton à région de confiance, et L-BFGS-B, une méthode de quasi-Newton à mémoire limitée et à recherche linéaire. Nous comparons nos méthodes à une approche précédente dans laquelle le problème est transformé par changement de variable. Les essais numériques réalisés pour des problèmes de reconstruction d'image montrent que notre approche nécessite un plus faible volume de calcul que celle avec changement de variable et rend la reconstruction plus rapide. Par ailleurs, l'usage de méthodes d'ordre supérieur permet de résoudre le problème avec une plus grande précision qu'une méthode de premier ordre.