Méthodes mises à l'échelle pour la reconstruction tomographique en coordonnées cylindriques

Nous traitons le problème de reconstruction d'image en tomographie à rayons X. La re-construction d'une image par une approche statistique requiert la résolution d'un problème d'optimisation convexe de grande taille à contraintes de bornes. La discrétisation de l'image en coordonnées cylindriques permet d'économiser de la mémoire et de réduire le volume de calculs, mais dégrade significativement le conditionnement du problème de reconstruction. Pour mettre le problème à l'échelle, nous disposons d'un préconditionneur basé sur la structure bloc-circulante de la matrice du système qui apparaît en coordonnées cylindriques. La mise à l'échelle améliore considérablement la vitesse de reconstruction, à condition qu'on l'applique de manière appropriée. En particulier, on cherche à préserver les contraintes de bornes, car elles donnent lieu à des projections orthogonales peu coûteuses. Nous traitons le problème de reconstruction avec des méthodes d'optimisation à directions projetées, pour lesquelles on applique la mise à l'échelle aux directions de descente. Alors qu'en imagerie la mise à l'échelle est souvent diagonale, nous proposons une stratégie permettant d'utiliser notre préconditionnement non-diagonal dans le cadre des contraintes de bornes. Celle-ci se base sur des opérateurs de mise à l'échelle partiellement diagonaux définis en fonction des contraintes actives à l'itéré courant. Nous appliquons la mise à l'échelle à deux algorithmes, TRON, une méthode de Newton à région de confiance, et L-BFGS-B, une méthode de quasi-Newton à mémoire limitée et à recherche linéaire. Nous comparons nos méthodes à une approche précédente dans laquelle le problème est transformé par changement de variable. Les essais numériques réalisés pour des problèmes de reconstruction d'image montrent que notre approche nécessite un plus faible volume de calcul que celle avec changement de variable et rend la reconstruction plus rapide. Par ailleurs, l'usage de méthodes d'ordre supérieur permet de résoudre le problème avec une plus grande précision qu'une méthode de premier ordre.

Abstract

We consider the image reconstruction problem in X-Ray computed tomography. Image re-construction by a statistical approach yields large-scale convex optimization problems with bound contraints. Discretizing the image in cylindrical coordinates results in savings in terms of memory and computations, but also in a badly scaled reconstruction problem. We scale the problem by using a matrix based on the bloc-circulant structure of the system matrix in cylindrical coordinates. In order to improve the reconstruction speed, we need to apply the scaling matrix wisely. In particular, we should preserve the bound constraints, because they yield cheap orthogonal projections. We solve the reconstruction problem with projected-directions optimization methods where the scaling is applied to descent directions. While the scaling is usually diagonal in imaging applications, we use a strategy to handle our nondiagonal scaling in the context of bound-constrained problems. The strategy involves the use of partially diagonal scaling operators, which depend on the active constraints at the current iterate. We describe our implementation of the scaling strategy into two algorithms: TRON, a trust-region method with exact second derivatives, and L-BFGS-B, a linesearch method with a limited-memory quasi-Newton Hessian approximation. We compare our approach with a previous one where a change of variable is made in the problem. Numerical tests carried on two reconstruction problems show that our approach gives superior results in term of computational time than the change of variable approach, and achieves much tighter accuracy than a first-order method.