Formulation faible des équations de Navier-Stokes non inertielle en rotation pure en éléments finis spectraux

Le présent mémoire est en deux parties. Premièrement, des éléments spectraux simplexes sont présentés pour permettre facilement l'adaptation de maillage dans le contexte de la méthode des éléments finis spectraux. Ceci est approprié, car l'implémentation de maillage adaptatif est plus aisée dans un contexte de maillage non structuré. Dans la littérature, les éléments simplexes sont de loin les plus communs dans les maillages non structurés. Dans un second temps, il est désirable de simuler des systèmes d'interactions fluides-structures en rotation en remaillant les structures avec des maillages qui capturent précisément la solution au pas de temps suivant. Un maillage qui capture mal la solution conduit à une solution plus difficile à obtenir. Un tel maillage est obtenu soit par un algorithme ou une heuristique basée sur une estimation de l'erreur de la solution sans quoi une connaissance préalable de la réponse au problème est nécessaire. Pour améliorer la précision une formulation faible non inertielle des équations de Navier-Stokes couplée avec une ou plusieurs équations qui traduisent les forces sur la structure est proposée. La littérature est aussi révisée pour trouver une formulation faible appropriée. Elle est ensuite implémentée dans un code existant. De nouvelles conditions limites compatibles avec un tel système sont proposées. Les résultats sont obtenus pour une ellipse de ratio deux pour un dans un écoulement à un nombre de Reynolds de 1000 et comparés à des résultats déjà publiés (Weymouth, 2014). Nous avons testé cette formulation faible dans le cadre d'un code d'éléments finis spectraux. Ces tests reproduisent bien les portraits de phases obtenus par Weymouth. Le code résultant est éventuellement utile pour étudier des systèmes hydrodynamiques et aérobalistiques. Des exemples sont des poutres dans une rivière, des ailes d'avions ou un projectile.

Abstract

This thesis is in two parts. Firstly, spectral elements on presented on a reference simplex. Simplex are chosen as they are the go-to elements for adaptive meshing. They are easier to work with since they are simpler in the context of non structured meshes. Secondly, it is desirable to simulate fluid-structure interactions in pure rotation while remeshing the geometry to obtain a solution that allows to capture the solution for the next time step as precisely as possible. The wrong choice of mesh can lead to a solution that is difficult to obtain. A good mesh can be generated by an adaptive meshing algorithm or heuristic based on the error of the solution without which a knowledge of the problem or the theoretical solution is necessary. To improve the precision and calculation time, two strategies are proposed: adaptive remeshing and a non inertial weak formulation of the Navier-Stokes equations coupled with equations that translate efforts applied to the structure. In the context of adaptive meshing, an unstructured mesh of elements is appropriate. Thus spectral simplex elements are presented as they are easy to adapt. A weak formulation is also explicited and implemented in a spectral element method code. New boundary value conditions are proposed to work in such a system. Results of simulations are obtained for an ellipse of ration 2 : 1 in a flow at Reynolds number 1000. These are compared to previously published results (Weymouth, 2014). Those tests reproduce fairly well the phase portraits obtained by Weymouth. The resulting code is eventually applicable to hydrodynamic and aeroballistic systems. Examples of such systems would be beam-like structures in a river, an aeroplane wing, a fuselage or projectiles.