Affinement de modèles substituts en optimisation de boîtes noires et en optimisation sans dérivées

Ce mémoire se situe dans un contexte d'optimisation sans dérivées, et plus particulièrement dans un contexte d'optimisation de boîtes noires, où la fonction à minimiser et les fonctions relatives aux contraintes sont de type boîte noire. Celles-ci sont potentiellement bruitées, non différentiables, coûteuses en temps de calcul et leurs dérivées sont inaccessibles, inestimables ou inexistantes. Diverses méthodes permettent de résoudre des problèmes d'optimisation de boîtes noires, dont l'algorithme de recherche par treillis adaptatifs (Mads) qui ne dirige la recherche d'optimums qu'avec les valeurs des fonctions aux points explorés. Cet algorithme itératif sépare sa recherche en deux étapes : une recherche globale qui explore l'espace des solutions et une recherche locale qui sonde autour de la meilleure solution visitée. Afin d'éviter d'évaluer inutilement la boîte noire, la recherche de Mads peut être guidée par des modèles du problème original qu'on nomme substituts. Ces modèles, moins lourds en temps de calcul, sont classés en deux catégories : les modèles statiques et les modèles dynamiques. Un modèle statique est une simplification de la boîte noire qui ne varie pas, tandis qu'un modèle dynamique est une approximation du problème mis à jour tout au long du déploiement de l'algorithme. Toutefois, les travaux précédents employant Mads n'exploitent pas simultanément les deux types de modèles. Ce travail introduit un nouveau modèle substitut, le modèle hybride quadratique (MHQ), qui s'avère être un modèle dynamique quadratique qui corrige l'information du modèle statique. Au lieu d'apporter une correction additive ou multiplicative, le MHQ vient généraliser ces deux types de correction en considérant le modèle statique comme une variable du modèle quadratique. Ce nouveau modèle est accompagné d'une base théorique solide en plus d'une analyse de convergence basée sur le calcul des fonctions non lisses. Mads exploite les valeurs fournies par le MHQ afin d'ordonner les points candidats de la recherche locale du plus prometteur au moins prometteur. Les fonctions de la boîte noire sont par la suite évaluées aux points ordonnés avec une stratégie opportuniste. Cette approche permet généralement de réduire le nombre d'évaluations de la boîte noire afin d'atteindre la convergence. Les tests numériques sont effectués sur trois problèmes analytiques et trois problèmes d'ingénierie sous forme de simulations. Les résultats obtenus montrent que l'apport du MHQ à l'algorithme Mads est de permettre une résolution des problèmes avec une plus grande précision. Le MHQ bénéficie donc du caractère global du modèle statique ainsi que de l'aspect local associé au modèle quadratique. Toutefois, l'approche par le MHQ possède des limitations, puisque son temps d'exécution est corrélé au nombre de contraintes du problème.