Simulation d'écoulements à surface libre entre un liquide et un gaz compressible

Ce mémoire présente une formulation éléments finis qui permet de résoudre des écoulements compressibles instationnaires subsoniques. La motivation de ce travail provient de la volonté d'améliorer les prédictions d'écoulements diphasiques séparés par une interface. En particulier, on s'intéresse au déferlement de vagues qui emprisonnent une poche d'air. D'abord, on développe une formulation des équations de Navier-Stokes compressible qui permet de gérer plusieurs régimes d'écoulements compressibles dans le même domaine. Pour résoudre ce système d'équations, on utilise une formulation par éléments finis. Pour les problèmes instationnaires, on utilise la méthode des « Backward Differentiation Formula » (BDF) avec un estimateur d'erreur de troncature pour effectuer l'intégration temporelle. En plus, on utilise une formulation ALE qui laisse le maillage de se déplacer dans le temps pour lui permettre de suivre les déformations d'une ou plusieurs frontières du domaine (comme c'est le cas pour un écoulement avec interface). Ces outils mentionnés ci-haut sont déjà tous utilisés pour le calcul d'écoulements à interface, mais pour des fluides incompressibles seulement. Donc, le but de ce mémoire est d'implémenter dans les formulations les termes compressibles qui s'ajoutent aux équations incompressibles. Pour vérifier que l'implémentation est bien faite, on effectue la vérification par la méthode des solutions manufacturées. On présente d'abord un problème stationnaire compressible pour montrer que les termes stationnaires sont bien résolus suivi par une solution manufacturée instationnaire compressible qui fait intervenir tous les termes ajoutés. Ainsi, on peut vérifier que les méthodes BDF se comportent de la bonne façon pour l'estimation des dérivées temporelles de la pression et de la température (essentiellement les termes ajoutés par la formulation compressible). Ensuite, puisque le problème de la vague déferlante se caractérise par la compression d'une poche de gaz, on procède à la validation du code avec le problème de Bagnold. Ce problème en 1D consiste à évaluer la pression de l'air dans un contenant compressé par un piston. Une fois la validation terminée, on se lance dans le calcul final du cas de déferlement de la vague. Les résultats obtenus sont encourageants comparativement à la formulation tout incompressible, mais il reste du travail à faire pour obtenir un modèle qui représente le mieux possible la réalité.

Abstract

In this work, we present a finite element formulation to solve compressible transient flows. The motivation for this project comes from the will to get better predictions on interface flows. We present a special interest in sloshing where a pocket of gas is trapped under a wave of incompressible fluid. First, we develop a formulation of the compressible Navier-Stokes equations that is well posed for the limit cases where the Mach number tends towards zero. This allows us to compute a solution where there are multiple regimes of compressible flows in different parts of the domain. To do so, we use a finite element solver coupled with the adaptive "Backward Differentiation Formula" (BDF) method for time integration. Moreover, we use an ALE formulation that allows the mesh to move in time to track the deformation of one or more boundaries (like an interface). Presently, all the tools that are mentioned are already used to solve interface flows where all the fluids are incompressible. So, the main objective of this work is to implement the compressible transient terms in the already existing incompressible solver. Once this is done, we want to verify if the implementation was done correctly by the method of manufactured solutions (MMS). The first MMS we do is a stationary problem to verify if the compressible flow equations that are already implemented are correctly solved in space. Then, we test an unsteady MMS, to verify if the transient terms that were added are also solved correctly. Once the implementation is verified, we may validate the code. We chose a solution that fits well with the interface problem that we want to solve (the Large Gas Pocket problem). Hence, we choose to solve the Bagnold's 1D model that characterizes the behavior of air being compressed by a mass of fluid. Finally, with the verification and validation done for the terms that were implemented, we jump on the real case problem. In this problem, we compare the newly implemented compressible solution with the solution where air is considered as incompressible. The results that are obtained are encouraging, but a lot of work is yet to be done before getting a truly good estimation of this case.