Méthode de Galerkin discontinue pour la discrétisation par Éléments finis des équations de maxwell pour la modélisation de problèmes d'électromagnétisme en basses fréquences

Une discrétisation par éléments finis utilisant la méthode de Galerkin discontinue pour les équations de Maxwell est proposée pour modéliser les problèmes d'électromagnétisme en basses fréquences. L'approximation des équations de Maxwell, dans le régime des basses fréquences, est directement discrétisée avec la méthode de Galerkin discontinue qui a été originellement développée pour les problèmes hyperboliques. On étudie, plus précisément, la modélisation des problèmes sur les supraconducteurs à haute température afin d'évaluer la robustesse de la stratégie numérique proposée. Une analyse dimensionnelle du système d'équations aux dérivées partielles d'ordre un, ainsi qu'un modèle pour les milieux ambiants ayant une conductivité très faible sont aussi proposés. Un problème ayant une solution manufacturée et la propagation d'un front magnétique sont étudiés afin de vérifier la méthodologie numérique proposée. L'induction d'un courant électrique dans un échantillon et dans des câbles électriques supraconducteurs à configuration complexe est étudiée afin de valider le modèle mathématique. De plus, une comparaison sur la capture des forts gradients de la densité de courant et sur la robustesse du schéma de points-fixes est faite entre la stratégie numérique proposée et l'approche numérique populaire au sein de la communauté des ingénieurs électriques en utilisant les problèmes sur les supraconducteurs à haute température.

Abstract

The discretization of Maxwell's equations using the discontinuous Galerkin finite element method is proposed for modeling electromagnetism problems in low-frequency regime. The low-frequency approximation to Maxwell's equations is directly discretized using the discontinuous Galerkin method that was first designed for hyperbolic problems. The modeling of high-temperature superconductors is particularly studied to assess the robustness of the proposed numerical strategy. A dimensional analysis of Maxwell's equations in low-frequency regime is proposed as well as a model for a medium with very low conductivity, such as air medium. A problem with a manufactured solution and the magnetic front problem are used to verify the proposed numerical strategy. The magnetization of superconducting bulks and wires with a complex structure is used to validate the mathematical model. For hightemperature superconductors modeling, the capture of the sharp gradients of the current density and the robustness of the fixed-point method are studied. The proposed approach is also compared with the popular numerical strategy among the electrical engineering community.