Convolution et déconvolution linéaire 3-D appliquées à l'holographie acoustique temporelle

L'holographie acoustique en champ proche est une méthode permettant de calculer l'amplitude d'un champ sonore dans l'espace tridimensionnel et dans le temps. Son principe repose sur l'utilisation d'une antenne microphonique placée dans le champ proche de la source, qui permet d'obtenir une condition frontière suffisante à la résolution de l'équation d'onde avec le formalisme de Green. La formulation standard permet de déterminer le champ de sources stationnaires. Il est alors supposé que la source rayonne de manière périodique dans le temps : le champ reconstruit est conséquemment représenté dans le domaine fréquentiel. Lorsque la source est non-stationnaire, le champ doit être représenté dans le domaine temporel et le formalisme standard ne s'applique pas, car la nature finie et discrète du champ mesuré introduit plusieurs erreurs de traitement du signal, notamment à cause de l'utilisation de la transformée de Fourier discrète qui suppose la périodicité. Les principales erreurs engendrées sont dues aux fuites spectrales (leakage) et au phénomène de recouvrement (wrap-around). Dans cette thèse, nous proposons un formalisme permettant de supprimer ces erreurs en utilisant un opérateur de convolution linéaire tridimensionnel de même que l'utilisation d'une fonction de Green échantillonnée dans le domaine temps-espace. Cette formulation améliore significativement la reconstruction du champ sonore tant pour le problème direct (propagation) que le problème inverse (rétro-propagation). En propagation, l'erreur obtenue avec la méthode proposée est environ dix fois moindre qu'avec les méthodes compétitrices dans les cas étudiés. De plus, on peut contrôler le niveau de l'erreur en choisissant un fenêtrage et une discrétisation adéquate. On établit également un lien entre l'erreur de troncature de la fonction de Green et la distance entre le plan de mesure et le plan de propagation. On valide la méthode développée en l'appliquant à des signaux simulés à partir d'un modèle de piston bafflé, ainsi qu'à des signaux expérimentaux obtenus dans un environnement anéchoïque. En rétro-propagation, on obtient une réduction de l'erreur allant jusqu'à un facteur trois en comparaison à la méthode standard basée sur l'utilisation de la convolution circulaire. L'erreur reste significative puisque le problème inverse est mathématiquement mal posé. Par conséquent, on analyse la performance de la méthode de Tikhonov pour régulariser le problème selon le niveau de bruit ajouté et la distance de propagation. Trois différentes méthodes sont utilisées pour déterminer le paramètre de régularisation optimal, soient la méthode de la courbe en L, la validation croisée généralisée et une approche Bayésienne.