Convolution et déconvolution linéaire 3-D appliquées à l'holographie acoustique temporelle

L'holographie acoustique en champ proche est une méthode permettant de calculer l'amplitude d'un champ sonore dans l'espace tridimensionnel et dans le temps. Son principe repose sur l'utilisation d'une antenne microphonique placée dans le champ proche de la source, qui permet d'obtenir une condition frontière suffisante à la résolution de l'équation d'onde avec le formalisme de Green. La formulation standard permet de déterminer le champ de sources stationnaires. Il est alors supposé que la source rayonne de manière périodique dans le temps : le champ reconstruit est conséquemment représenté dans le domaine fréquentiel. Lorsque la source est non-stationnaire, le champ doit être représenté dans le domaine temporel et le formalisme standard ne s'applique pas, car la nature finie et discrète du champ mesuré introduit plusieurs erreurs de traitement du signal, notamment à cause de l'utilisation de la transformée de Fourier discrète qui suppose la périodicité. Les principales erreurs engendrées sont dues aux fuites spectrales (leakage) et au phénomène de recouvrement (wrap-around). Dans cette thèse, nous proposons un formalisme permettant de supprimer ces erreurs en utilisant un opérateur de convolution linéaire tridimensionnel de même que l'utilisation d'une fonction de Green échantillonnée dans le domaine temps-espace. Cette formulation améliore significativement la reconstruction du champ sonore tant pour le problème direct (propagation) que le problème inverse (rétro-propagation). En propagation, l'erreur obtenue avec la méthode proposée est environ dix fois moindre qu'avec les méthodes compétitrices dans les cas étudiés. De plus, on peut contrôler le niveau de l'erreur en choisissant un fenêtrage et une discrétisation adéquate. On établit également un lien entre l'erreur de troncature de la fonction de Green et la distance entre le plan de mesure et le plan de propagation. On valide la méthode développée en l'appliquant à des signaux simulés à partir d'un modèle de piston bafflé, ainsi qu'à des signaux expérimentaux obtenus dans un environnement anéchoïque. En rétro-propagation, on obtient une réduction de l'erreur allant jusqu'à un facteur trois en comparaison à la méthode standard basée sur l'utilisation de la convolution circulaire. L'erreur reste significative puisque le problème inverse est mathématiquement mal posé. Par conséquent, on analyse la performance de la méthode de Tikhonov pour régulariser le problème selon le niveau de bruit ajouté et la distance de propagation. Trois différentes méthodes sont utilisées pour déterminer le paramètre de régularisation optimal, soient la méthode de la courbe en L, la validation croisée généralisée et une approche Bayésienne.

Abstract

Near-field acoustic holography is a method used to determine the amplitude of a sound field in three-dimensional space and in time. It is based on the use of a microphone array placed in the near field of the source, which is used to obtain a boundary condition sufficient to the resolution of the wave equation with Green's formalism. The standard formulation is used to determine the field of stationary sources. It assumes that the source radiates periodically in time: the reconstructed field is consequently represented in the frequency domain. When the source is non-stationary, the field must be represented in the time domain and the standard formulation does not apply, because the finite and discrete nature of the measured field introduces several signal processing errors, notably because of the use of the discrete Fourier transform which assumes the periodicity. The main errors generated are due to leakage and wrap-around phenomena. In this thesis, we propose a formalism to eliminate these errors by using a three-dimensional linear convolution operator as well as the use of a Green's function sampled in the time and spatial domain. This formulation significantly improves the reconstruction of the sound field both for the direct problem (propagation) and the inverse problem (retro-propagation). In propagation, the error obtained with the proposed method is about ten times smaller than with the competing methods in the cases studied. In addition, the error can be controlled by choosing an adequate window and a proper sampling frequency. It is shown that the truncation error due to the Green's function is proportional to the distance between the measurement plane and the propagation plane. The proposed method is validated by applying it to simulated signals from a baffled piston model, as well as to experimental signals obtained in an anechoic environment. In back propagation, the error is reduced by up to a factor three in comparison to the circular convolution based method. The error remains significant since the inverse problem is mathematically ill-posed. The performance of Tikhonov's method is analyzed to regularize the problem with respect to the noise level and the propagation distance. Three different methods are used to determine the optimal regulation parameter, namely the L-curve, the generalized cross-validation and a Bayesian approach. The generalized cross-validation method gives the best prediction of the optimal regulation parameter in the cases studied. The performance of the sparse regularization method is also analyzed when applied to the proposed NAH formulation.