Application de modèles de turbulence à deux équations à la résolution éléments finis d'écoulements instationnaires

Ce mémoire présente le développement d'un algorithme éléments-finis tout couplé et tout adaptif utilisable pour la résolution d'écoulements turbulents instationnaires et bidimensionnels. Par « tout adaptatif » on entend qu'il sera possible en cours de calcul de faire varier le pas d'intégration temporelle, l'ordre de la méthode d'intégration temporelle, mais aussi la finesse du maillage dans le domaine de calcul. Par application de cet algorithme on est en mesure d'obtenir une efficacité de résolution accrue, comparativement à une résolution basée sur un maillage fixe et pas de temps de fixe. La résolution se fait à l'aide de l'approximation URANS et via l'usage du modèle de turbulence k-" standard. Dans le cas d'écoulements de paroi on utilisera également les variables logarithmiques pour les inconnues relatives à la turbulence, et les lois de paroi standards à 2 échelles de vitesse pour compenser les faiblesses du modèle k-" standard en proche paroi. L'ensemble de cette approche permet une résolution robuste des problèmes fluides présentés ici. La première partie du projet consiste à implémenter dans l'algorithme une méthode d'intégration temporelle linéaire et multi-pas, à ordre et pas de temps variables. Le schéma numérique retenu est celui des méthodes « Backward Differentiation Formulas » , particulièrement adaptées aux problèmes numériquement raides. L'implémentation de ce schéma numérique est vérifiée pour les ordres 1 à 4 par la méthode des solutions manufacturées, entre autres afin de retrouver les taux de convergence théoriques des différents ordres du schéma. La solution manufacturée utilisée pour cette vérification se rapproche d'un écoulement de Poiseuille. Dans un second temps on développe une application permettant de piloter la résolution de l'écoulement turbulent instationnaire, au travers du découpage du temps simulé en intervalles de temps de durée variable, chaque transition entre intervalle de temps se faisant par un remaillage du domaine de calcul et l'interpolation de la solution précédente sur le nouveau maillage. On termine en validant le nouvel algorithme sur plusieurs cas turbulents également classiques, que sont l'écoulement sur la marche de Kim et l'écoulement autour d'un cylindre carré puis circulaire. La complexité de ces cas est suffisante pour pleinement tester la robustesse de l'algorithme ici développé.

Abstract

We present the development of a new algorithm dedicated to the resolution of bidimensional unsteady and turbulent flow based on the URANS approximation. The algorithm also uses the finite elements method, and a monolithic formulation, that is to say the movement, continuity, and turbulence partial derivatives equations are solved in one block, with the use of all interaction terms. But the main originality of the algorithm is its adaptive feature, both for the time and space discretization, and leading to an effective resolution. For the time discretization we have extended the application of a hp-adaptive method using the 'Backward Differentiation Formulas' (BDF), formerly designed to solve unsteady laminar in a effective way, to turbulent problems. The error estimation to adapt the time step has been modified to deal with the differencies between the velocity and turbulence variables. An adjustment of the stability indicator used to perform the order adaptation of the method has also been done for the same reason. The algorithm can adapt the space discretization as well thanks to a posteriori error estimation using a local projection method. A driver program has been created to control the frequency of the mesh update during the resolution of an unsteady problem, and to keep a number of nodes in the mesh approximatively constant during the whole simulation. All the developments and simulations use the standard k-" turbulence model to predict the effects of turbulence on the flow. To avoid transient negative values for turbulence variables, the natural logarithm of turbulence variables is used too. It has also been necessary to use a two velocity scales wall function to solve confined flows, or flows around a solid, to compensate for the weaknesses of the standard k-" turbulence model in such cases. The developed algorithm has been checked, with the method of manufactured solutions. First, the standard k-" turbulence model has been tested to verify that our implementations did not introduce bugs in the resolution of steady problems. We then looked for the theoretical convergence rates of the BDF for all solved variables. We have also verified the performance of the error estimator used for the time step adaptation. Finally we put our algorithm into practice to solve some widely studied turbulent flows, to compare our results with steady simulations or with other unsteady results found in the literature.