Le contrôle des inflexions et des extremums de courbure portés par les courbes et les surfaces B-Splines

Le contrôle des propriétés différentielles des courbes et des surfaces B-splines est un enjeu important, en particulier pour le domaine de la conception géométrique assistée par ordinateur. Un enjeu qui sollicite autant les méthodes analytiques que numériques dans le but de permettre au concepteur de manipuler les formes avec une aisance toujours croissante. Ce texte explore les possibilités offertes lorsqu'on combine des méthodes numériques de pointe aux travaux de grands géomètres du 19e siècle. Ainsi, de nouveaux algorithmes pour l'optimisation sous contraintes des B-splines ont été développés. Ensuite, ces algorithmes ont été combinés à la théorie des groupes de transformations comme elle a été développée à l'origine par des pionniers comme Sophus Lie, Gaston Darboux et Felix Klein. Ceci permet d'ouvrir des portes vers de nouveaux horizons. Il devient possible de générer de larges espaces de formes sur lesquels on contrôle les propriétés différentielles. Il devient également possible d'éliminer des oscillations de façon sélective ou de manipuler les formes sans introduire d'oscillations indésirables. Avant de progresser vers cet objectif ambitieux, il faut d'abord être en mesure de bien comprendre et de bien visualiser ces propriétés différentielles que l'on souhaite contrôler. L'histoire de la géométrie différentielle classique des courbes et des surfaces est très riche. Cette histoire est revisitée avec une perspective nouvelle. Soit la perspective du contrôle des inflexions et des extremums de courbure. Ceci permet de faire émerger des liens importants entre la géométrie différentielle, la théorie des singularités, les groupes de transformations et l'optique géométrique. Ensuite viennent les algorithmes d'optimisation des B-splines sous contraintes. Les variables indépendantes sont les positions des points de contrôle de la B-spline alors que les contraintes portent sur la position des points de contrôle d'une fonction qui représente les propriétés différentielles de la B-spline. Les algorithmes sont d'abord développés pour les fonctions B-splines à une et deux variables. Une fois ces algorithmes développés, plusieurs possibilités nouvelles s'offrent à nous. Il devient possible, par exemple d'obtenir la courbe qui s'approche le plus d'une autre courbe quelconque sous la contrainte de posséder certaines propriétés différentielles. De cette manière, il devient possible de travailler avec un plus grand nombre de points de contrôle et ainsi dans un espace de forme plus riche sans avoir à se soucier d'oscillations arbitraires. Ceci permet en particulier d'éliminer de façon sélective des oscillations indésirables sur des profils aérodynamiques.

Abstract

Control of B-spline differential properties is an important stake, especially for the field of computer-aided geometric design. An issue that calls for analytical and numerical skills to allow the designer to manipulate shapes in an increasingly efficient way. This text explores possibilities offered by combining new numerical methods with works of 19th century great geometers. Thus, new algorithms for constrained optimization of B-splines are selected and then grafted to the group theory of transformations as it was originally developed by pioneers such as Sophus Lie, Gaston Darboux and Felix Klein. This opens doors to new horizons. It becomes possible to generate large spaces of shapes with a control over their differential properties. This also gives us a selective eraser of curvature extrema and the option to manipulate shapes without introducing undesirables oscillations. Before progressing towards this ambitious goal, one must first be able to understand and visualize these differential properties that one wishes to control. This rich history of the classical differential geometry is revisited with a new perspective. This new perspective is the one of the control of inflections and extrema of curvature. A perspective that allows to establish important links between differential geometry, the theory of singularities, groups of transformations and geometric optics. Next comes the B-splines optimization algorithms with constraints. The independent variables are the B-spline position of the control points, while the constraints are applied to the control points of a function which represents the differential properties of the B-spline. The algorithms are first developed for B-spline functions. Once these algorithms have been developed, several new possibilities open up to us. It becomes possible, for example, to find the closest curve to another one under specified differential properties. This particular algorithm is introduced as an extension to the standard B-spline least squares method to approximate a series of points. The extension consists in adding constraints to produce curve segments with monotonously increasing or decreasing curvature. The interior point method is used to solve the constrained optimization problem. The method requires gradients and those are provided by symbolic B-spline operators. Therefore, the algorithm relies on the arithmetic, differential and variation diminishing properties of the Bsplines to apply the constraints. Thereby, it becomes possible to work with a greater number of control points and thus in a richer shape space without having to manage undesired oscillations.