Adaptation de maillages anisotropes

RÉSUMÉ En simulation numérique, l'adaptation de maillages se révèle être un outil essentiel à l'obtention de résultats crédibles. Un maillage mal adapté à une solution entraîne généralement une mauvaise définition de cette dernière et donc une perte de précision. Généralement, plus le maillage est fin, meilleure sera la précision de la solution. Toutefois, cette finesse a un prix et les maillages résultants peuvent devenir très gros en matière de nombre de noeuds. Plus le nombre de noeuds est important, plus le temps de calcul de la solution est long. Les maillages anisotropes sont formés d'éléments étirés et orientés de manière à minimiser l'erreur d'interpolation sur le domaine tout en respectant un certain nombre de noeuds. Ces maillages particuliers permettent d'obtenir des solutions de précision équivalentes à celles obtenues sur des maillages classiques isotropes, mais comptent souvent beaucoup moins de noeuds. Ces économies en termes de noeuds et d'éléments ne sont pas négligeables en ce qui a trait aux temps de calcul de la solution et à l'espace mémoire requis. La méthode sur laquelle est basée l'adaptation de maillages anisotropes présentée dans ce travail fait appel aux métriques optimales multi-échelle afin de minimiser l'erreur d'interpolation en norme Lp pour un nombre donné de noeuds N. La métrique est un tenseur d'ordre deux qui définit une transformation affine de l'espace physique vers un espace virtuel. Un élément anisotrope, qui est étiré dans l'espace physique, devient isotrope une fois transformé dans l'espace virtuel. L'étirement et l'orientation de l'élément dans l'espace physique assurent l'équirépartition de l'erreur d'interpolation dans toutes les directions, et minimisent cette dernière pour un élément triangulaire linéaire ayant une certaine aire. La taille, l'étirement et l'orientation des éléments anisotropes sont déterminés en chaque noeud du maillage par la métrique. Celle-ci est calculée à partir de la matrice hessienne, qui est la matrice des dérivées secondes de la solution. Le ratio des racines carrées des valeurs propres de cette matrice définit l'étirement de l'élément. Les tailles respectives aux deux directions principales sont définies par l'inverse des racines carrées de ces valeurs propres.