Robustesse de la commande prédictive non-linéaire par rapport aux erreurs paramétriques

La commande de procédé comporte diverse méthodes. Pour des problèmes complexes, certaines procédant par optimisation peuvent être appropriées, notamment la commande prédictive non-linéaire (NMPC pour nonlinear model predictive control). Ces méthodes de commande doivent performer, même en présence d'incertitudes paramétriques. Des méthodologies existent pour corriger les erreurs paramétriques (adaptation) ou réduire leur impact sur l'efficacité de la commande (méthodes robustes). Cependant, ces solutions ne sont pas toujours applicables, exigent des calculs supplémentaires et, surtout, sont plus conservatrices. Ce projet visait donc à déterminer dans quelles situations la méthode de base comporte une robustesse intrinsèque. En effet, des articles publiés au cours des dernières années ont mis en évidence certains problèmes avec la NMPC appliquée à des procédés batch. Dans certaines simulations, l'optimisation hors ligne performait mieux que la NMPC, qui utilise pourtant des informations supplémentaires. Ce travail continue dans cette voie et plusieurs systèmes ont été simulés avec différentes combinaisons de coûts (économique ou de trajectoire), de contraintes (aucune, de trajectoire ou terminale) et de variations paramétriques. Pour ces simulations, les coûts de trajectoire quadratiques apportaient une robustesse accrue, la NMPC performant mieux avec ceux-ci que les optimisations hors ligne. L'étape suivante fut d'analyser la NMPC d'un point de vue mathématique pour vérifier si ces résultats s'expliquaient. La première étape a démontré que, en présence d'erreurs paramétriques, avec ou sans bruit de procédé, la NMPC peut performer mieux ou moins bien que l'optimisation hors ligne, les deux situations étant permises par la méthode. La seconde étape de l'analyse a mené au résultat le plus important. En effet, une démonstration a indiqué que pour un coût de trajectoire quadratique, en présence d'erreurs paramétriques suffisamment petites, mais sans bruit de procédé, la NMPC donne de meilleurs résultats que l'optimisation hors ligne si les contraintes actives ne changent pas avec les variations paramétriques. La dernière partie de ce travail fut de vérifier l'hypothèse de l'invariance des contraintes actives. Des optimisations ont été faites, comparant trois solutions optimales localement, composées de séquences d'arcs, avec différentes valeurs de paramètres et de contraintes. Cette analyse de la sensibilité a montré que, dans ce cas, la forme de la meilleure solution ne changeait pas avec les changements de paramètres, i.e. les contraintes actives restaient invariantes.

Abstract

Process control has access to various strategies. When faced with complex problems, some of those using optimization, such as NMPC (nonlinear model predictive control), can be appropriate. Those methods must perform well, even with parametric errors. Strategies exists either to correct parametric errors (adaptation) or to reduce their impact on the controller's performance (robust strategies). However, these solutions are not always possible to implement, they require additional computational time and, most of all, are conservative. This project's main objective was therefore to find out whether there are cases where the base method has a natural robustness. Papers published in the last few years showed some issues for the NMPC applied to a batch processes: offline optimization outperformed NMPC, which uses additional information. This work continues on this topic and various simulations were done for different combinations of cost (tracking or economic), constraints (none, trajectory or terminal) and parametric variations. The results obtained tended to show better robustness with trajectory costs, as NMPC always performed better in those case than the offline optimization. The next step was to analyse the NMPC from a mathematical point of view, in order to see if such results could be explained. The first part of the analysis showed that, with parametric errors and with or without process noise, NMPC can give better results than offline optimization as much as worse results. The second part gave the most important result: it proves that, for small enough parametric variations, with no process noise, NMPC used with a quadratic tracking cost will always give a better performance than the offline optimization if the active constraints are invariant with respect to parametric changes. The last part of this work consisted in verifying the invariant constraints assumption. Optimizations were made on another system, comparing locally optimal solutions composed of sequences of arcs, with varied parameters and constraints. This sensitivity analysis showed that, for that case, the general shape of the best solution didn't change with parametric changes, i.e. the active constraints were invariant.