Linear Consensus Algorithms: Structural Properties and Connections with Markov Chains

Nous considérons un réseau d'agents multiples en interaction, et tel que chaque agent est supposé posséder un état concernant une certaine quantité d'intérêt. Selon le contexte, les états d'agents peuvent correspondre à des opinions, des valeurs, des estimés, des croyances, des positions, des vitesses, etc. Ces états sont mis à jour selon un algorithme ou protocole qui consiste en une règle d'interaction dictant la manière par laquelle les états d'un agent donné influencent ou sont influencés par ceux de ses voisins. Les voisins sont définis à partir d'un graphe sous-jacent de communication, ce dernier évoluant dans le temps de manière soit endogène ou exogène. Un consensus du système est défini comme la convergence de tous les états vers une valeur commune, lorsque le temps croît indéfiniment. La notion de consensus apparaît dans de multiples domaines de recherche. En biologie, le consensus est lié aux comportements émergents d'un ensemble d'oiseaux en vol, des bancs de poissons, etc. En robotique et en automatique, les problèmes de consensus se présentent lorsque l'on cherche à réaliser la coordination et la coopération d'agents mobiles (ex. robots et capteurs). Cette question est particulièrement importante dans la mise en réseau de capteurs avec nombreuses applications, soit en contrôle de l'environnement, ou dans un contexte militaire. En économie, la recherche de consensus par rapport à un mécanisme commun d'ajustement des prix constitue un autre exemple. En sociologie, l'émergence d'une langue commune dans une société primitive est un comportement collectif au sein d'un système complexe. Un autre comportement limite d'intérêt dans un système est celui où les états, plutôt que de converger vers une seule valeur, se fractionnent en groupes distincts, avec des limites communes dans le groupe mais distinctes d'un groupe à l'autre. Un tel comportement est appelé dans notre thèse, consensus multiple. Dans cette thèse, nous adressons deux objectifs de recherche en relation avec le comportement asymptotique des états d'agents dans un système multi-agent, possédant une dynamique mise à jour via un algorithme distribué de calcul de moyenne, de caractère général, en temps continu ou discret. Le premier objectif visé est celui de l'identification de conditions aussi faibles que possible, pour lesquelles le consensus unique ou multiple est garanti inconditionnellement, c'est-à-dire pour toute valeur du temps initial ou encore des valeurs initiales attribuées aux états. Contrairement au premier objectif centré sur la recherche de convergence inconditionnelle, notre second objectif de recherche est celui de l'identification d'ensembles particuliers de conditions initiales, non triviales toutefois, pour lesquelles un consensus global est possible.