Stiffness Optimization of a honeycomb foot orthotic

Les orthèses plantaires sont couramment utilisées pour corriger les pieds plats. Toutefois, la prescription d'orthèses plantaires demeure une question ouverte. Récemment, les techniques de numérisation 3D, d'impression 3D et de simulation par éléments finis nous permettent de concevoir et de fabriquer une orthèse qui soit spécifique au patient avec une géométrie complexe et des propriétés personnalisées. Au niveau de l'orthèse plantaire imprimée en 3D avec une géométrie en nid d'abeilles, les dimensions des cellules peuvent être modifiées localement afin d'obtenir la rigidité requise pour soutenir l'arche médiale longitudinale chez des pieds plats. Cependant, une simulation explicite et détaillée qui utilise des éléments 3D est très coûteuse en temps de calcul. Cette recherche vise à construire et développer un modèle plus efficace en temps de calcul pour prédire la déformation de l'orthèse en nid d'abeilles soumise à une pression exercée par un pied plat afin d'optimiser ses paramètres géométriques.

Pour ce faire, l'orthèse plantaire a été modélisée avec l'élément coque dont les propriétés équivalentes ont été calculées avec la technique d'homogénéisation numérique. La capacité prédictive de notre modèle a été évaluée en deux temps. Dans un premier temps (notre premier article), une procédure de vérification et validation a été implémentée sur le modèle homogénéisé de structure en nid d'abeilles qui a été soumis à une charge uniaxiale en traction. La vérification était la comparaison de la prédiction du modèle homogénéisé d'une part avec la prédiction du modèle explicite et d'autre part avec les prédictions des modèles analytiques dans la littérature. Dans la validation, les prédictions des simulations numériques ont été comparées avec les mesures expérimentales qui provenaient de la force de réaction et du déplacement mesuré grâce à la technique de corrélation d'images. Deux structures en nid d'abeilles avec la même densité relative de 40% mais avec un nombre de cellules différent (13 et 37) ont été testées avec la machine de traction. Les résultats ont montré que la performance du modèle homogénéisé dépendait significativement du nombre de cellules. Le modèle homogénéisé peut prédire la rigidité apparente pour la structure en nid d'abeilles avec 37 cellules avec 4% de différence relative par rapport à la mesure expérimentale, alors que la divergence augmente de 70% quand il y a seulement 13 cellules dans la structure en nid d'abeilles. D'autre part, le modèle le plus fiable était la simulation explicite avec une précision non affectée par rapport au nombre de cellules.

Dans un second temps (notre deuxième article), les prédictions du modèle homogénéisé d'orthèse plantaire imprimée en 3D en nid d'abeilles ont été vérifiées et validées. Pour la vérification, l'orthèse plantaire était soumise aux distributions de pression du pied, alors que les parties du talon et de l'avant-pied étaient fixées. Le déplacement prévu par le modèle homogénéisé a été comparé avec la prédiction du modèle explicite sur la surface supérieure de l'orthèse plantaire (qui est en contact avec le pied). Cette comparaison a montré que la différence relative entre leurs déplacement locaux minimum prévus était de moins de 8%, alors que le modèle homogénéisé était 46 fois plus rapide que le modèle explicite pour calculer le déplacement. Au niveau de la validation, l'orthèse plantaire a été soumise à un déplacement vertical de l'arche médiale longitudinale à l'aide d'un poinçon en acier et d'une machine de traction uniaxiale. La force de réaction a été mesurée avec une cellule de charge de 1 kN et le déplacement du bord de l'orthèse plantaire a aussi été mesuré avec la technique de corrélation d'images. Les résultats des simulations montrent que les deux prédictions sont proches avec une différence relative inférieure à 1%. De plus, la comparaison des prédictions des simulations avec les mesures expérimentales ont montré que les courbes force-déplacement prévues étaient comprises dans l'intervalle de confiance de 90% des mesures expérimentales ayant une différence relative de moins de 10%. Dans ce cas, utiliser le modèle homogénéisé réduit le temps de calcul de 22 heures à 22 minutes par rapport au modèle explicite. Le modèle homogénéisé est donc suffisamment précis et plus efficace en termes de calcul afin d'être utilisé comme un modèle de substitution (Surrogate) au modèle explicite de l'orthèse plantaire en nid d'abeilles pour l'optimisation des paramètres géométriques.

Dans un troisième temps (notre troisième article), la performance du substitut a été évaluée en concevant six exemples d'optimisation afin d'optimiser les paramètres géométriques à savoir la densité relative et la hauteur des cellules. Dans les problèmes d'optimisation à une seule variable, l'orthèse plantaire constitue une variable géométrique uniforme. Dans les problèmes d'optimisation multivariables, le domaine de l'orthèse a été divisé en neuf sous-domaines. Chaque sous-domaine représentait un groupe de nid d'abeilles avec les mêmes paramètres géométriques. L'objectif était de trouver les meilleurs paramètres géométriques pour obtenir la déformation requise de l'orthèse. La déformation requise était déjà prévue par le modèle homogénéisé avec les paramètres géométriques connus. La fonction de coût a été calculée avec la fonction de norme2 qui calcule la différence entre la déformation requise et la déformation prévue avec la simulation en cours. Par conséquent, la valeur minimale de la fonction de coût était exactement à zéro et la réponse exacte était déjà connue. L'évaluation de la précision de la solution optimale peut être ainsi réalisée. Les résultats ont montré que tous les exemples ont été résolus avec succès et aussi une précision acceptable (dans le pire des cas, le coût était de f(x*)=0.3 mm). De plus, le modèle de substitution pourrait prédire le déplacement hors du plan 78 fois plus rapidement que le modèle explicite. Pour réaliser 2000 simulations, le temps de calcul est réduit de 34 jours à 10 heurs en utilisant le modèle homogénéisé au lieu du modèle explicite. Le modèle homogénéisé de l'orthèse pourrait être potentiellement utilisé pour accélérer l'optimisation afin d'aider les orthésistes à trouver les dimensions optimales des cellules de l'orthèse pour une déformation requise. Ils pourraient alors fabriquer une orthèse optimisée en impression en 3D et les prescrire aux patients avec les pieds plats.

Abstract

Foot Orthotics (also termed as orthopedic insoles) are one of the most common medical devices to correct the flat feet condition. Recently, 3D scanning, 3D printing and finite element simulation enable to design and manufacture patient-specific orthopedic insoles featuring complex geometries and customized mechanical properties. In 3D printed honeycomb insoles, the cell dimensions can be locally varied to provide a required overall stiffness to support the medial longitudinal arch in flat feet condition. An explicit and detailed finite element simulation of a lattice insole using 3D solid elements (so called explicit model), however, is computationally expensive. This research aims to build and develop a computationally efficient model to predict the insole's deflection under a flat foot pressure distribution for the purpose of the optimization of the geometrical parameters of a honeycomb lattice insole.

To do so, we modelled the lattice insole by shell elements whose effective properties were computed from the numerical homogenization technique. We assessed our model's predictive capability at two levels. In the first level of assessment (our first paper), a verification and validation procedure was conducted over homogenized models of honeycomb lattice dog-bone specimens under a uni-axial tensile loading. The verification consisted in comparing the homogenized model predictions against the explicit model predictions as well as against the predictions resulting from the previous analytical beam-based models in the literature. In the validation, the predictions from numerical simulations were compared to experimental measurements resulting from the reaction force and the measured displacement field by the digital image correlation technique. In this regard, two honeycomb structures with the same relative density of 40%, but with different numbers of cells (13 and 37), were tested by a uni-axial tensile machine. The results showed that the homogenized model performance is significantly affected by the represented number of cells. The numerical homogenization model can predict the apparent in-plane stiffness in structures made of 37 cells having a relative difference of 4% when compared to the experimental measurements, while the discrepancy increases to 70% when 13 cells are considered. On the other hand, the most reliable way to model the honeycomb structure was the explicit FE simulation whose accuracy is not affected by the number of cells.

In the second level of assessment (our second paper), the predictions resulting from the homogenized model of a 3D printed honeycomb lattice insole were verified and validated. In the verification, the insole was subjected to a pressure distribution of a foot, while the heel part and the forefoot were fixed. The homogenized model predicted out-of-plane displacement was compared against the predictions of the explicit model over the top surface of the insole (the surface in contact with the foot). This comparison showed that the relative difference between their predicted local minimum out-of-plane displacement was less than 8%, while the homogenized model was 46 times faster than the explicit model to compute the displacement. In the validation, the insole was subjected to a vertical displacement at the medial longitudinal arch through a steel punch and by a uni-axial tensile machine. The reaction force was measured with a 1 kN load cell and the displacement field of the insole edge was measured using the digital image correlation technique. The simulation results show that both models predicted the same contact force with a relative difference of less than 1%. Comparing the simulation results with the experimental results revealed that the predicted force-displacement curves were also within a 90% confidence interval of the experimental measurements having a relative difference smaller than 10%. In this case, using the homogenized model reduced the computational time from 22 hours to 22 minutes, when compared to the explicit modelling of the insole. The homogenized model, therefore, is sufficiently accurate and more computationally efficient to be used as a surrogate of the explicit model of honeycomb lattice insole to optimize its local geometrical parameters.

In the third step (our third paper), the surrogate was evaluated in six optimization problems to optimize the geometrical parameters which were the relative density and the height of the honeycomb cells. In single variable optimization problems, the insole uniformly consisted of one geometrical variable. In multi variable optimization examples, on the other hand, the insole's domain was discretized into nine sub-domains. Each sub-domain represented a group of honeycomb cells with the same geometrical parameters. The objective was to find the best geometrical parameters to reach a target insole's deflection. The target deflection was already predicted with the homogenized insole having known geometrical parameters. The cost function was computed by the norm2 of the difference between the target deflection and the predicted deflection by the current simulation. Thus, the minimum cost was exactly equal to zero and the exact solutions in the examples were previously known. This enables us to evaluate the accuracy of the optimized solutions. The results show that all examples were successfully solved with an acceptable accuracy (in the worst case, the cost was f(x*)=0.3 mm). Moreover, the surrogate could predict the out-of-plane displacement field 78 times faster than the explicit model. When 2000 simulations were required, the computational time was reduced from 34 days to 10 hours using the homogenized model rather than the explicit model. The homogenized model of the cellular FOs, therefore, could be potentially employed to speed up the optimization process to help orthotists find the optimal cell dimensions for a given target insole deflection, fabricate it with additive manufacturing and prescribe it for the patients with flat feet.