Étude de méthodes d'intégration temporelle basées sur des schémas de corrections différées d'ordres élevés et A-stables

Dans le domaine de la simulation numérique en mécanique des fluides, deux aspects sont à prendre en compte : la discrétisation spatiale et la discrétisation temporelle. Ces deux aspects vont de pair et influent tous deux sur la précision et le coût d'un calcul. Dans notre travail, nous nous intéressons à la discrétisation temporelle et plus particulièrement aux méthodes BDF – Backward Differentiations Formulae – car elles permettent d'effectuer des calculs stables dans des cas de problèmes raides dont font notamment partie les problèmes de Navier-Stokes. Mais ces méthodes sont stables pour des ordres de convergence de un et deux seulement. Pour augmenter l'ordre de convergence, nous construisons une méthode de correction différée, c'est-à-dire que nous modifions le schéma de discrétisation avec une correction. Cette correction est basée sur l'erreur de troncature propre à chaque BDF. Nous construisons ainsi une méthode que nous nommons DC5/BDF1 qui est un schéma BDF1 corrigé successivement quatre fois afin d'obtenir une méthode stable d'ordre cinq. De même, nous construisons une méthode DC5/BDF2, également à l'ordre cinq, mais basée cette fois sur le schéma BDF2. De plus nous construisons ces méthodes pour qu'elles soient fonctionnelles, c'est-à-dire stables et avec le bon taux de convergence, à pas de temps alterné. En effet le but est de faire un premier pas en direction d'un intégrateur permettant de fonctionner avec des pas de temps adaptatifs. Nous testons ensuite nos méthodes pour des EDO simples et des systèmes d'EDO. Nous vérifions que les taux de convergence sont bien atteints. Nous discutons de la raideur des équations ainsi que du pas de temps utilisé pour les simulations. Ensuite des tests sur des EDP en une dimension sont effectués pour comprendre l'influence des conditions limites sur nos intégrateurs. Nous remarquons alors que des pertes d'ordre peuvent se produire sur des corrections successives, et cela en fonction des conditions limites et en utilisant des pas de temps alternés. Pour remédier à ce problème, nous développons donc une méthode pour imposer différemment les conditions limites : la correction de Verwer. Précédemment nous utilisions des conditions de Dirichlet, le principe est maintenant d'imposer faiblement une équation différentielle du premier ordre aux bords de notre domaine. Pour le faire directement au sein des formes faibles, nous utilisons un multiplicateur de Lagrange. Cette correction permet de remédier au problème de perte d'ordre et fournit également des informations supplémentaires sur la simulation via le multiplicateur de Lagrange. Dans un problème de thermique, le multiplicateur correspond au flux de chaleur au bord. Dans un problème d'écoulement isotherme, le multiplicateur nous donne la résultante des forces aux frontières. Cette information est très utile dans le cadre d'une application aux Interactions Fluide-Structure, car cela évite le difficile calcul des forces en post-traitement. Nous fournissons également des résultats en deux dimensions pour des problèmes de diffusion thermique et d'écoulements isothermes. Cela nous permet de discuter de l'effet de la correction de Verwer. Ces résultats nous permettent de valider nos méthodes. Enfin nous effectuons une simulation sur des tourbillons de Von Karman. Pour ce cas nous devons combiner nos intégrateurs DC/BDF1 et DC/BDF2 afin d'initialiser correctement la méthode DC/BDF2. Les résultats obtenus comparés à ceux de la littérature nous permettent d'apporter un élément de vérification à nos méthodes.

Abstract

There are two main aspects of fluid numerical simulations: spatial discretization and temporal discretization. These two aspects go hand in hand and have an influence on the accuracy and the cost of a computation. We will focus our work on the temporal discretization and more specifically on the BDF – Backward Differentiation Formulae – methods because it allows stable computations for stiff problems. These problems are very sensitive to fluctuations of parameters and so can be unstable, Navier-Stokes problems correspond to this description. But the BDF methods are stable only for order one and two. So we build a new method that use a deferred correction to increase the order of convergence of the BDF. This correction is based on the truncation error of each BDF method. Thus we develop a method, named DC5/BDF1, where we successively correct a BDF1 method to get a stable method of order 5. By the same process we build a DC5/BDF2, also of order 5 but based on the BDF2. Besides we think these schemes in a way that it also works with alternate time-step. Indeed we open the possibility to improve our method with a adaptative time-step algorithm. We test our methods with simple ODE and system of ODE. We check that we reach the expected convergence order. And we discuss about the impact of the stiffness and the variability of the time-step. We also test with PDE to understand the influence of the boundary conditions and of the time-step on the result. We note that alternate time step and specific boundary conditions can lead to an order reduction. So we also develop a different way to implement the boundary conditions inspired by the Verwer correction. Previously we used Dirichlet boundary condition, now the idea is to impose a differential equation of order one on the boundary. It is possible to do it directly into the weak form of the problem using a Lagrange multiplier. Using the Lagrange multiplier has the double benefit to solve the order reduction and to provide more information during the computation. The Lagrange multiplier correspond to the heat flux in a heat and mass transfer problem and it gives us the sum of forces on a bound in a Navier-Stokes problem. This information is very useful in Fluid Structure Interaction problem because it will avoid the difficult calculation of forces in post treatment. To have a full set test we simulate a heat and mass transfer problem and Navier Stokes problem in two dimensions. It is the occasion to talk about the effect of Verwer's correction. Finally, to validate our scheme we simulate Von Karman vortex. For this particular situation, the DC5/BDF2 method will require the DC5/BDF1 method for the initialization. By comparing our result to others in the literature, we can validate our methods.