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Comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques fermées et isotropes, soumises à un écoulement supersonique

Yacine Ben Youssef

Ph.D. thesis (2021)

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Abstract

Analysis of the geometrically nonlinear dynamic behaviour of closed and isotropic thin cylindrical structures subjected to supersonic flow has attracted the interest of the scientific community and has been the subject of a large number of research studies during the past decade. The major reason for this is the use of these structures in high-tech fields such as aerospace, aeronautics and nuclear energy. This has created a requirement to develop analytical and numerical models capable of analyzing the phenomenon of dynamic instability and providing accurate predictions, both qualitatively and quantitatively. The advent of new digital tools makes this possible.The majority of studies that have been conducted in this area use a linear approach to address this type of problem. Only a limited number of studies have been devoted to nonlinear analysis of the dynamic behaviour of thin cylindrical shells subjected to supersonic flutter.The aim of this thesis is to propose a model capable of analyzing, linearly and nonlinearly, the dynamic behaviour of thin isotropic cylindrical shells subjected to external supersonic flow, including consideration of the effect of initial stiffening stresses induced by radial and/or axial forces. The developed model also takes into account the effect of initial geometric imperfections, the curvature effect in the circumferential direction of the displacement field and the effect of nonlinear coupling between different modes. It also calculates the point of onset of dynamic instability of the structure and describes its behaviour during phases following the onset of flutter.The method developed in this thesis combines the finite element method, the Novozhilov thin shell theory and aerodynamic fluid theory.Three aspects were at the centre of interest of this research work and are, therefore, divided into three sections. The first part studies the effect of initial stiffening stresses on the dynamic behaviour of axisymmetrical structures. Following this, a formulation is developed for analysis of geometrically nonlinear free vibration of thin cylindrical shells. The third section deals with the effect of aerodynamic forces induced by supersonic air flow on the nonlinear dynamic behaviour of thin, isotropic cylindrical shells by assessing, among others, their state of stability.Axisymmetrical structures are mainly composed of cylindrical, conical and/or axisymmetric elements with variable radius. To ensure better geometric consistency, two semi-analytical finite elements (cylindrical and conical) were used in a hybrid finite element method to model axisymmetric shells. This approach is based on a combination of the classical finite element method and thin shell theory. The displacement functions are derived from exact solutions of Sanders' shell equilibrium equations for cylindrical and conical shells. Linear mass and stiffness matrices are determined based on the expression of elastic strain energy and kinetic energy. The stiffness matrix induced by the initial stiffening stresses, inferred from axial and/or radial forces, is determined from the expression of elastic strain energy associated with the membrane forces. The equations of motion are derived based on the Lagrange method and resolved by considering the eigenvalue system approach. Combined structures are also considered in this study. These are modeled using an assembly of cylindrical and other conical elements and analyzed by applying standard finite element techniques. This modelling approach is advantageous for analysis of combined shells. The effect of axial forces as well as radial pressure is examined. The analysis also includes consideration of variations of the geometric properties and the effect of different boundary conditions on the dynamic behaviour of axisymmetric shells. The critical buckling load is observed to be the lowest in the case of the clamped-free boundary condition of the cylindrical shells. It can be noticed that the conical structure loses its bearing capacity and a significant drop of its total rigidity can be noted when the critical loads corresponding to various semivertex angles are reached. We can also discern that the initial stiffening effect is remarkable for large values of the number of circumferential waves. However, it is minimal when the combined structure membrane behavior governs. The results presented in this study show an excellent agreement with those found in the literature, both experimental and numerical.The second part of this thesis is devoted to the analysis of the nonlinear dynamic behaviour (large-amplitude vibration) of thin, closed isotropic cylindrical shells. This is accomplished through the development of a formulation based on a hybrid approach combining Novozhilov's non-linear theory with the classical finite element method.The theory developed in this manuscript is able to include the shell curvature effect in the circumferential direction of the orthogonal displacements and also considers the impact of initial geometric imperfections on the dynamic response of the system. Among others, nonlinear coupling between different modes is taken into consideration. The formulation first takes a general form, expressing shell displacement using a combination of generalized coordinates and spatial functions. Nonlinear kinematic relationships are determined from Novozhilov's theory. The equation of motion is inferred from the Lagrange equations based on an energy approach. Quadratic and cubic nonlinear stiffness matrices are determined after analytical integration of modal coefficients expressed in terms of shape functions.An application of this model is illustrated in a further step, by adopting the displacement functions derived from exact solutions of linear Sander's theory equilibrium equations for thin cylindrical shells. The governing equations of motion are solved with the help of a direct iterative method. Linear and nonlinear frequencies are validated by comparison with the results in the literature. The effect of different parameters including axial and circumferential wave number, length-to-radius ratio, thickness-to-radius ratio and various boundary conditions, on the nonlinear frequencies of cylindrical shells is investigated. The coupling between nonlinear modes accentuates the hardening character of nonlinear vibrations. It has also been found that the fundamental frequency depends closely on the amplitude of the vibrations once we leave the domain of small vibrations. Excellent agreement is observed between the results derived from this theory and those found in the literature.The third part of this research presents a model for analyzing the nonlinear dynamic behaviour of closed and isotropic thin cylindrical shells subjected to radial pressures and/or axial forces and exposed to supersonic airflow. The structural mass and stiffness matrices are obtained using an energy approach. The stiffness matrix induced by the initial stiffening stresses is calculated based on the expression of strain energy of the membrane force. A linear analysis is performed to identify natural modes, which are then used in the nonlinear analysis as a spatial function to determine the cubic nonlinear stiffness matrix based on analytical integration of modal coefficients. The local aerodynamic pressure exerted by the fluid on the structure is derived from linear piston theory, with and without consideration of the terms of curve corrections. The correlation between the aerodynamic pressure and the radial component of the fluid velocity vector enables expression of the aerodynamic force according to the calculated displacements at any point of the structure. The fluid stiffness and damping matrices are determined by analytical integration of the aerodynamic pressure force. The governing equations of motion are derived using the Lagrange method and solved numerically with the help of a direct iterative method. Numerical studies are conducted highlighting that the dynamic behaviour's nonlinear trend is a softening type. Results of these studies also illustrate the effects of different parameters including internal pressure, nonlinear coupling, circumferential wave number, radius-to-thickness ratio, length-to-radius ratio and boundary conditions on the nonlinear dynamic behaviour of the cylindrical shell at the onset of flutter and during the flutter stage. It is revealed that the more slender the structure, the more vulnerable it will be to dynamic instability by flutter. Moreover, the internal pressure has stabilizing influence on the homogeneous isotropic cylindrical shell and the increase in the length to radius ratio of the structure hastens the flutter instability. Good agreement is found between the results obtained using the present approach and those published in the literature.The model developed in this thesis is a powerful tool for evaluating the vibratory characteristics of closed and isotropic thin cylindrical shells in the nonlinear domain and offering, therefore, a good prediction of the instability of these structures when subjected to supersonic flow. This is achieved through a combination of the advantages of the finite element method for treating shells with complex shapes and the precision of the developed formulation employing exact solutions for the displacement functions. These advantages give more reliability to the results and offer more robustness to the developed model to treat aeroelastic problems.

Résumé

L'analyse du comportement dynamique géométriquement nonlinéaire des structures cylindriques minces fermées et isotropes, soumises à un écoulement supersonique, a suscité l'intérêt de la communauté scientifique et a mobilisé un grand nombre de chercheurs dans la dernière décennie. Cela est dû, d'une part, à l'utilisation de ces structures dans des domaines de haute pointe telle que l'aérospatiale, l'aéronautique et le nucléaire et d'autre part au besoin de développer des modèles analytiques et numériques capables d'analyser fidèlement le phénomène d'instabilité dynamique afin de pouvoir fournir des prédictions correctes, tant qualitativement que quantitativement surtout avec l'avènement accru des outils numériques.La majorité des études qui ont été menées emploie l'étude linéaire pour traiter ce genre de problème et un nombre limité de recherches qui a été consacré à l'analyse nonlinéaire du comportement dynamique des coques cylindriques minces soumises à l'effet du flottement supersonique.Cette thèse a pour but de proposer un modèle capable d'analyser linéairement et nonlinéairement le comportement dynamique des structures cylindriques minces et isotropes lorsqu'elles sont soumises à un écoulement supersonique externe en tenant compte de l'effet des contraintes initiales de raidissement induites par des pressions radiales et/ou des forces axiales. Le modèle développé tient aussi en considération de l'effet des imperfections géométriques initiales, de l'effet de courbure au niveau du champ de déplacement circonférentiel ainsi que de l'effet du couplage nonlinéaire entre les différents modes. Il permet aussi de prédire le début de l'instabilité dynamique de la structure et de décrire son comportement durant les phases qui suivent l'apparition de flottement.La méthode développée dans cette thèse rallie à la fois la méthode des éléments finis, la théorie des coques minces et la théorie aérodynamique de fluide.Trois aspects étaient au centre de l'intérêt de ce travail de recherche, réparties sur trois sections stipulant l'effet des contraintes initiales de raidissement sur le comportement dynamique des structures axisymétriques, en premier lieu. Ensuite, une formulation a été développée optant pour l'analyse des vibrations libres géométriquement nonlinéaires des coques cylindriques minces. La troisième partie traite l'effet des forces aérodynamiques induites par un écoulement d'air supersonique sur le comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques minces et isotropes en évaluant entre autre leur état de stabilité.La première partie de ce travail, met en exergue l'analyse détaillée de l'effet des contraintes initiales de raidissement sur le comportement dynamique des structures axisymétriques. Ces dernières sont composées principalement par des éléments de type cylindrique, conique et/ou des éléments axisymétriques à rayon variables. Pour assurer une meilleure consistance géométrique, deux éléments finis de forme cylindrique et conique basés sur la méthode des éléments finis hybrides sont considérés dans cette étude. Cette approche repose sur une combinaison entre la méthode des éléments finis classique et la théorie des coques minces. Les fonctions de déplacement sont dérivées à partir des solutions exactes des équations d'équilibre de Sanders relatives aux cas des coques cylindriques et coniques. Les matrices de masse et de rigidité linéaires sont déterminées en se basant sur l'expression de l'énergie de déformation élastique et de l'énergie cinétique. La matrice de rigidité induite par les contraintes initiales de raidissement, inférées des forces axiales et/ou des pressions radiales, est déterminée à partir de l'expression de l'énergie de déformation élastique associée aux forces membranaires. Les équations de mouvement sont dérivées à partir des équations de Lagrange et résolues en considérant l'approche du système à valeurs propres. Les structures combinées sont aussi prises en considération dans cette étude. Celles-ci se manifestent par un assemblage des éléments cylindriques et d'autres coniques en appliquant les techniques standard des éléments finis. Ces structures combinées tirent, en conséquence, profit des avantages du modèle hybride des éléments finis cylindriques et ceux coniques. L'effet des forces axiales ainsi que des pressions radiales est examiné dans cette étude tout en tenant en compte de la variation des propriétés géométriques des structures. L'analyse tient aussi en compte de l'effet des différentes conditions aux limites sur le comportement dynamique des structures axisymétriques. L'étude a montré que les structures cylindriques soumises à des pressions externes deviennent vulnérables à l'instabilité dynamique (divergence) au fur et à mesure que leurs rayons augmentent. Un effet opposé a été révélé lorsque les structures cylindriques sont sujettes à des forces axiales de compression marquant ainsi l'absence de l'effet de la variation de rayon de courbure sur la charge critique de flambement dynamique des coques cylindriques. Les résultats ont montré aussi que l'augmentation de l'angle du tronc de cône favorise l'instabilité des structures coniques en les comparant aux coques présentant des angles modérés et que l'effet des contraintes initiales de raidissement pour les coques combinées devient prépondérant lorsque le comportement flexionnel gouverne alors qu'il devient minime lorsque le comportement membranaire gouverne. L'étude a montré une excellente concordance entre les résultats issus de cette analyse avec ceux expérimentaux et numériques trouvés dans la littérature.La seconde partie de cette thèse, est consacrée à l'analyse du comportement géométriquement nonlinéaire (grande amplitude de vibration et petite déformation) des coques cylindriques minces, fermées et isotropes en vibration libre, à travers le développement d'une formulation basée sur les relations cinématiques nonlinéaires de Novozhilov. La théorie, développée dans ce manuscrit, tient en compte de l'effet de courbure au niveau du champ de déplacement circonférentiel et considère l'impact des imperfections géométriques initiales sur la réponse dynamique du système. Le couplage nonlinéaire entre les différents modes est entre autre pris en considération. La formulation prend d'abord une forme générale en considérant le champ de déplacement comme une combinaison entre une fonction temporelle (coordonnée généralisée) et une autre spatiale. Les relations cinématiques nonlinéaires découlent de la théorie de Novozhilov. L'équation de mouvement est inférée des équations de Lagrange en se basant sur une approche énergétique. Les matrices de rigidité nonlinéaires quadratiques et cubiques sont déterminées après intégration analytique des coefficients modaux s'écrivant en termes des fonctions de formes. Le développement d'un modèle hybride a été évoqué dans un second temps, en ralliant à la fois la formulation développée avec la méthode des éléments finis classique. Les matrices élémentaires de masse et de rigidité linéaires et nonlinéaires sont déterminées en remplaçant les fonctions spatiales du champ de déplacement par les fonctions de forme découlant de l'analyse linéaire et dérivés à partir de la solution exacte des équations d'équilibre de Sanders ce qui acquiert au modèle une rapidité de convergence et une précision des résultats. La résolution de l'équation de mouvement se base principalement sur le principe de linéarisation après avoir transformé le système dans sa base modale. L'effet des différents paramètres tel que la variation du nombre d'ondes axiales et circonférentielles, des paramètres géométriques ainsi que des conditions aux limites sur le comportement dynamique des structures cylindriques minces a été examiné. Les résultats décelés à partir de cette étude sont en bonne concordance avec ceux relatifs aux autres auteurs. L'analyse révélée a mis en exergue l'effet prépondérant du couplage nonlinéaire à accentuer le caractère raidissant du comportement dynamique nonlinéaire des coques cylindriques. D'autant plus, l'étude nonlinéaire a apporté quelques amendements en matière de caractérisation des fréquences et modes fondamentaux. L'analyse a aussi exhibé une évolution croissante de la fréquence relative nonlinéaire en fonction de l'augmentation de l'élancement de la structure incité par la chute draconienne de la fréquence linéaire par rapport à celle nonlinéaire.La troisième partie de cette recherche, présente un modèle permettant d'analyser le comportement dynamique nonlinéaire des coques cylindriques minces fermées et isotropes, soumises à des pressions radiales et/ou des forces axiales et exposées à un écoulement d'air supersonique. Les matrices de masse et de rigidité structurales sont obtenues en se basant sur une approche énergétique. La matrice de rigidité induite par les contraintes initiales de raidissement est calculée en se basant sur l'évaluation de l'énergie de déformations des flux d'efforts membranaires. La matrice de rigidité nonlinéaire cubique est déterminée à partir de l'intégration analytique des coefficients modaux qui dépendent également des fonctions de forme trouvés à partir de l'analyse linéaire. La pression aérodynamique locale exercée par le fluide sur la structure est dérivée de la théorie de piston linéaire avec et sans considération des termes de corrections de courbures. La corrélation entre la pression aérodynamique et la composante radiale, locale du vecteur vitesse de fluide a permet d'exprimer la force aérodynamique en fonction des déplacements calculées en tout point de la structure. Les matrices de rigidité et d'amortissement de fluide sont déterminées par intégration analytique de la force de pression aérodynamique. Les équations de mouvement sont établies à partir des équations de Lagrange et résolues par le biais d'une méthode itérative directe. Plusieurs résultats sont décelés suite à cette recherche mettant en exergue l'effet assouplissant du comportement nonlinéaire traduit par la relation ralliant les rapports des fréquences linéaires et nonlinéaires en fonction des ratios d'amplitude de vibration et de l'épaisseur des parois des coques. L'effet du couplage nonlinéaire ainsi que les effets du nombre d'ondes circonférentiels et des paramètres géométriques de la structure sur le comportement dynamique nonlinéaire des coques pressurisées et non pressurisées pendant le début du flottement et durant les phases d'instabilité sont investigués dans cette étude. L'étude a met l'accent sur l'effet éminent du couplage entre les différents modes nonlinéaires et qui réside dans l'accentuation du caractère assouplissant des coques cylindriques pressurisées en fonction de l'accroissement de l'amplitude de flottement. L'augmentation de l'élancement de la structure favorise l'instabilité de la structure toutefois, son effet sur la tendance du comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques s'avère négligeable lorsqu'elles sont sujettes aux valeurs limites de flottement en terme de Pcr et ncr. Une très bonne concordance a été révélée entre ces résultats et ceux numériques, analytiques et expérimentales trouvés dans la littérature.Le modèle développé dans cette thèse constitue un outil puissant permettant d'évaluer les caractéristiques vibratoires des structures cylindriques minces fermées et isotropes dans le domaine nonlinéaire et d'offrir, en conséquence, une bonne prédiction de l'instabilité de ces structures lorsqu'elles sont soumises à un écoulement supersonique. Ceci est exaucé grâce à une combinaison entre les avantages de la méthode des éléments finis permettant de traiter les coques avec des formes complexes, avec la précision de la formulation développée admettant comme fonctions de forme les solutions exactes des équations d'équilibre qui découlent de la théorie linéaire des coques. Ces avantages donnent plus de fiabilité aux résultats et offrent plus de robustesse au modèle développé pour traiter les problèmes aéroélastiques.
Department: Department of Mechanical Engineering
Program: PhD.
Academic/Research Directors: Aouni A. Lakis
PolyPublie URL: https://publications.polymtl.ca/9648/
Institution: Polytechnique Montréal
Date Deposited: 14 Apr 2022 14:06
Last Modified: 24 Nov 2022 20:37
Cite in APA 7: Ben Youssef, Y. (2021). Comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques fermées et isotropes, soumises à un écoulement supersonique [Ph.D. thesis, Polytechnique Montréal]. PolyPublie. https://publications.polymtl.ca/9648/

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