Comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques fermées et isotropes, soumises à un écoulement supersonique

L'analyse du comportement dynamique géométriquement nonlinéaire des structures cylindriques minces fermées et isotropes, soumises à un écoulement supersonique, a suscité l'intérêt de la communauté scientifique et a mobilisé un grand nombre de chercheurs dans la dernière décennie. Cela est dû, d'une part, à l'utilisation de ces structures dans des domaines de haute pointe telle que l'aérospatiale, l'aéronautique et le nucléaire et d'autre part au besoin de développer des modèles analytiques et numériques capables d'analyser fidèlement le phénomène d'instabilité dynamique afin de pouvoir fournir des prédictions correctes, tant qualitativement que quantitativement surtout avec l'avènement accru des outils numériques. La majorité des études qui ont été menées emploie l'étude linéaire pour traiter ce genre de problème et un nombre limité de recherches qui a été consacré à l'analyse nonlinéaire du comportement dynamique des coques cylindriques minces soumises à l'effet du flottement supersonique. Cette thèse a pour but de proposer un modèle capable d'analyser linéairement et nonlinéairement le comportement dynamique des structures cylindriques minces et isotropes lorsqu'elles sont soumises à un écoulement supersonique externe en tenant compte de l'effet des contraintes initiales de raidissement induites par des pressions radiales et/ou des forces axiales. Le modèle développé tient aussi en considération de l'effet des imperfections géométriques initiales, de l'effet de courbure au niveau du champ de déplacement circonférentiel ainsi que de l'effet du couplage nonlinéaire entre les différents modes. Il permet aussi de prédire le début de l'instabilité dynamique de la structure et de décrire son comportement durant les phases qui suivent l'apparition de flottement. La méthode développée dans cette thèse rallie à la fois la méthode des éléments finis, la théorie des coques minces et la théorie aérodynamique de fluide. Trois aspects étaient au centre de l'intérêt de ce travail de recherche, réparties sur trois sections stipulant l'effet des contraintes initiales de raidissement sur le comportement dynamique des structures axisymétriques, en premier lieu. Ensuite, une formulation a été développée optant pour l'analyse des vibrations libres géométriquement nonlinéaires des coques cylindriques minces. La troisième partie traite l'effet des forces aérodynamiques induites par un écoulement d'air supersonique sur le comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques minces et isotropes en évaluant entre autre leur état de stabilité. La première partie de ce travail, met en exergue l'analyse détaillée de l'effet des contraintes initiales de raidissement sur le comportement dynamique des structures axisymétriques. Ces dernières sont composées principalement par des éléments de type cylindrique, conique et/ou des éléments axisymétriques à rayon variables. Pour assurer une meilleure consistance géométrique, deux éléments finis de forme cylindrique et conique basés sur la méthode des éléments finis hybrides sont considérés dans cette étude. Cette approche repose sur une combinaison entre la méthode des éléments finis classique et la théorie des coques minces. Les fonctions de déplacement sont dérivées à partir des solutions exactes des équations d'équilibre de Sanders relatives aux cas des coques cylindriques et coniques. Les matrices de masse et de rigidité linéaires sont déterminées en se basant sur l'expression de l'énergie de déformation élastique et de l'énergie cinétique. La matrice de rigidité induite par les contraintes initiales de raidissement, inférées des forces axiales et/ou des pressions radiales, est déterminée à partir de l'expression de l'énergie de déformation élastique associée aux forces membranaires. Les équations de mouvement sont dérivées à partir des équations de Lagrange et résolues en considérant l'approche du système à valeurs propres. Les structures combinées sont aussi prises en considération dans cette étude. Celles-ci se manifestent par un assemblage des éléments cylindriques et d'autres coniques en appliquant les techniques standard des éléments finis. Ces structures combinées tirent, en conséquence, profit des avantages du modèle hybride des éléments finis cylindriques et ceux coniques. L'effet des forces axiales ainsi que des pressions radiales est examiné dans cette étude tout en tenant en compte de la variation des propriétés géométriques des structures. L'analyse tient aussi en compte de l'effet des différentes conditions aux limites sur le comportement dynamique des structures axisymétriques. L'étude a montré que les structures cylindriques soumises à des pressions externes deviennent vulnérables à l'instabilité dynamique (divergence) au fur et à mesure que leurs rayons augmentent. Un effet opposé a été révélé lorsque les structures cylindriques sont sujettes à des forces axiales de compression marquant ainsi l'absence de l'effet de la variation de rayon de courbure sur la charge critique de flambement dynamique des coques cylindriques. Les résultats ont montré aussi que l'augmentation de l'angle du tronc de cône favorise l'instabilité des structures coniques en les comparant aux coques présentant des angles modérés et que l'effet des contraintes initiales de raidissement pour les coques combinées devient prépondérant lorsque le comportement flexionnel gouverne alors qu'il devient minime lorsque le comportement membranaire gouverne. L'étude a montré une excellente concordance entre les résultats issus de cette analyse avec ceux expérimentaux et numériques trouvés dans la littérature. La seconde partie de cette thèse, est consacrée à l'analyse du comportement géométriquement nonlinéaire (grande amplitude de vibration et petite déformation) des coques cylindriques minces, fermées et isotropes en vibration libre, à travers le développement d'une formulation basée sur les relations cinématiques nonlinéaires de Novozhilov. La théorie, développée dans ce manuscrit, tient en compte de l'effet de courbure au niveau du champ de déplacement circonférentiel et considère l'impact des imperfections géométriques initiales sur la réponse dynamique du système. Le couplage nonlinéaire entre les différents modes est entre autre pris en considération. La formulation prend d'abord une forme générale en considérant le champ de déplacement comme une combinaison entre une fonction temporelle (coordonnée généralisée) et une autre spatiale. Les relations cinématiques nonlinéaires découlent de la théorie de Novozhilov. L'équation de mouvement est inférée des équations de Lagrange en se basant sur une approche énergétique. Les matrices de rigidité nonlinéaires quadratiques et cubiques sont déterminées après intégration analytique des coefficients modaux s'écrivant en termes des fonctions de formes. Le développement d'un modèle hybride a été évoqué dans un second temps, en ralliant à la fois la formulation développée avec la méthode des éléments finis classique. Les matrices élémentaires de masse et de rigidité linéaires et nonlinéaires sont déterminées en remplaçant les fonctions spatiales du champ de déplacement par les fonctions de forme découlant de l'analyse linéaire et dérivés à partir de la solution exacte des équations d'équilibre de Sanders ce qui acquiert au modèle une rapidité de convergence et une précision des résultats. La résolution de l'équation de mouvement se base principalement sur le principe de linéarisation après avoir transformé le système dans sa base modale. L'effet des différents paramètres tel que la variation du nombre d'ondes axiales et circonférentielles, des paramètres géométriques ainsi que des conditions aux limites sur le comportement dynamique des structures cylindriques minces a été examiné. Les résultats décelés à partir de cette étude sont en bonne concordance avec ceux relatifs aux autres auteurs. L'analyse révélée a mis en exergue l'effet prépondérant du couplage nonlinéaire à accentuer le caractère raidissant du comportement dynamique nonlinéaire des coques cylindriques. D'autant plus, l'étude nonlinéaire a apporté quelques amendements en matière de caractérisation des fréquences et modes fondamentaux. L'analyse a aussi exhibé une évolution croissante de la fréquence relative nonlinéaire en fonction de l'augmentation de l'élancement de la structure incité par la chute draconienne de la fréquence linéaire par rapport à celle nonlinéaire. La troisième partie de cette recherche, présente un modèle permettant d'analyser le comportement dynamique nonlinéaire des coques cylindriques minces fermées et isotropes, soumises à des pressions radiales et/ou des forces axiales et exposées à un écoulement d'air supersonique. Les matrices de masse et de rigidité structurales sont obtenues en se basant sur une approche énergétique. La matrice de rigidité induite par les contraintes initiales de raidissement est calculée en se basant sur l'évaluation de l'énergie de déformations des flux d'efforts membranaires. La matrice de rigidité nonlinéaire cubique est déterminée à partir de l'intégration analytique des coefficients modaux qui dépendent également des fonctions de forme trouvés à partir de l'analyse linéaire. La pression aérodynamique locale exercée par le fluide sur la structure est dérivée de la théorie de piston linéaire avec et sans considération des termes de corrections de courbures. La corrélation entre la pression aérodynamique et la composante radiale, locale du vecteur vitesse de fluide a permet d'exprimer la force aérodynamique en fonction des déplacements calculées en tout point de la structure. Les matrices de rigidité et d'amortissement de fluide sont déterminées par intégration analytique de la force de pression aérodynamique. Les équations de mouvement sont établies à partir des équations de Lagrange et résolues par le biais d'une méthode itérative directe. Plusieurs résultats sont décelés suite à cette recherche mettant en exergue l'effet assouplissant du comportement nonlinéaire traduit par la relation ralliant les rapports des fréquences linéaires et nonlinéaires en fonction des ratios d'amplitude de vibration et de l'épaisseur des parois des coques. L'effet du couplage nonlinéaire ainsi que les effets du nombre d'ondes circonférentiels et des paramètres géométriques de la structure sur le comportement dynamique nonlinéaire des coques pressurisées et non pressurisées pendant le début du flottement et durant les phases d'instabilité sont investigués dans cette étude. L'étude a met l'accent sur l'effet éminent du couplage entre les différents modes nonlinéaires et qui réside dans l'accentuation du caractère assouplissant des coques cylindriques pressurisées en fonction de l'accroissement de l'amplitude de flottement. L'augmentation de l'élancement de la structure favorise l'instabilité de la structure toutefois, son effet sur la tendance du comportement dynamique nonlinéaire des structures cylindriques s'avère négligeable lorsqu'elles sont sujettes aux valeurs limites de flottement en terme de Pcr et ncr. Une très bonne concordance a été révélée entre ces résultats et ceux numériques, analytiques et expérimentales trouvés dans la littérature. Le modèle développé dans cette thèse constitue un outil puissant permettant d'évaluer les caractéristiques vibratoires des structures cylindriques minces fermées et isotropes dans le domaine nonlinéaire et d'offrir, en conséquence, une bonne prédiction de l'instabilité de ces structures lorsqu'elles sont soumises à un écoulement supersonique. Ceci est exaucé grâce à une combinaison entre les avantages de la méthode des éléments finis permettant de traiter les coques avec des formes complexes, avec la précision de la formulation développée admettant comme fonctions de forme les solutions exactes des équations d'équilibre qui découlent de la théorie linéaire des coques. Ces avantages donnent plus de fiabilité aux résultats et offrent plus de robustesse au modèle développé pour traiter les problèmes aéroélastiques.