Méthodes de capture de chocs instationnaires et leur implémentation pour la méthode des éléments finis

Ce mémoire s'intéresse à la stabilisation des écoulements pouvant présenter des discontinui- tés et des chocs, notamment les écoulements compressibles. La simulation des équations de Navier-Stokes avec la méthode des éléments finis peut présenter des instabilités, c'est pour- quoi de nombreux schémas de stabilisation ont vu le jour, comme SUPG (Streamline-Upwind Petrov Galerkin). En présence de chocs, des oscillations supplémentaires apparaissent, il est nécessaire de mettre en place de la capture de choc pour les atténuer. Nous utilisons une formulation unifiée des équations de Navier-Stokes, en variables primi- tives. De cette façon, les équations sont définies pour les écoulements compressibles comme incompressibles, ce qui nous permet de chercher à implémenter une capture de choc univer- selle, qui fonctionne pour tout type d'écoulements laminaires. Après avoir adapté de la littérature deux opérateurs de capture de choc s'ajoutant à SUPG, nous avons évalué leurs performances sur deux cas tests : un cas de convection-diffusion et un tube à choc. Chacune des deux méthodes apporte une amélioration des résultats, bien qu'elle s'accompagne de difficultés de convergence lors de la résolution du système d'équations. De plus, les méthodes ne sont efficaces que pour un cas test donné chacune, et non les deux. Les sources de la plupart des difficultés rencontrées ont été identifiées. Ainsi des suggestions pour l'amélioration de la précision des méthodes et pour une meilleure universalisation ont pu être proposées.

Abstract

This work is devoted to the stabilization of flows that may present discontinuities and shocks, in particular compressible flows. The simulation of the Navier-Stokes equations with the finite element method can present instabilities. To prevent that, many stabilization schemes have been developed, such as SUPG (Streamline-Upwind Petrov Galerkin). When shocks are involved, additional oscillations appear, we need to add shock capture to dampen them. We use a unified formulation of the Navier-Stokes equations, in primitive variables. This way, the equations are defined for both compressible and incompressible flows, which allows us to try to implement a universal shock capture, which will work for all types of laminar flows. After adapting from the literature two shock capture methods in combination with SUPG, we have evaluated their performances on two test cases: a convection-diffusion case and a shock tube. Each of the two methods brings an improvement of the results, although they are affected by convergence difficulties when solving the system of equations. Moreover, the methods are only effective for one given test case each, not both. The sources of most of the difficulties encountered have been identified. Thus, suggestions for improving the accuracy of the methods and for a better generalization have been proposed.