Adaptation anisotrope sur des structures lagrangiennes cohérentes en mécanique des fluides

Plusieurs méthodes permettent aujourd'hui d'analyser le comportement des écoulements qui régissent le fonctionnement de systèmes rencontrés dans l'industrie (véhicules aériens, marins et terrestres, génération d'énergie, etc.). Pour les écoulements transitoires ou turbulents, les méthodes expérimentales sont utilisées conjointement avec les simulations numériques (simulation directe ou faisant appel à des modèles) an d'extraire le plus d'information possible. Dans les deux cas, les méthodes génèrent des quantités de données importantes qui doivent ensuite être traitées et analysées. Ce projet de recherche vise à améliorer notre capacité d'analyse pour l'étude des écoulements simulés numériquement et les écoulements obtenus à l'aide de méthodes de mesure (par exemple la vélocimétrie par image de particules PIV ). L'absence, jusqu'à aujourd'hui, d'une dénition objective d'une structure tourbillonnaire a conduit à l'utilisation de plusieurs méthodes eulériennes (vorticité, critère Q, Lambda-2, etc.), souvent inadaptées, pour extraire les structures cohérentes des écoulements. L'exposant de Lyapunov, calculé sur un temps ni (appelé le FTLE), s'est révélé comme une alternative lagrangienne ecace à ces méthodes classiques. Cependant, la méthodologie de calcul actuelle du FTLE exige l'évaluation numérique d'un grand nombre de trajectoires sur une grille cartésienne qui est superposée aux champs de vitesse simulés ou mesurés. Le nombre de n÷uds nécessaire pour représenter un champ FTLE d'un écoulement 3D instationnaire atteint facilement plusieurs millions, ce qui nécessite des ressources informatiques importantes pour une analyse adéquate. Dans ce projet, nous visons à améliorer l'ecacité du calcul du champ FTLE en proposant une méthode alternative au calcul classique des composantes du tenseur de déformation de Cauchy-Green. Un ensemble d'équations diérentielles ordinaires (EDOs) est utilisé pour calculer simultanément les trajectoires des particules et les dérivées premi ères et secondes du champ de déplacement, ce qui se traduit par une amélioration de la précision nodale des composantes du tenseur. Les dérivées premières sont utilisées pour le calcul de l'exposant de Lyapunov et les dérivées secondes pour l'estimation de l'erreur d'interpolation. Les matrices hessiennes du champ de déplacement (deux matrices en 2D et trois matrices en 3D) nous permettent de construire une métrique optimale multi-échelle et de générer un maillage anisotrope non structuré de façon à distribuer ef- cacement les n÷uds et à minimiser l'erreur d'interpolation.

Abstract

Several methods can help us to analyse the behavior of ows that govern the operation of uid ow systems encountered in the industry (aerospace, marine and terrestrial transportation, power generation, etc..). For transient or turbulent ows, experimental methods are used in conjunction with numerical simulations ( direct simulation or based on models) to extract as much information as possible. In both cases, these methods generate massive amounts of data which must then be processed and analyzed. This research project aims to improve the post-processing algorithms to facilitate the study of numerically simulated ows and those obtained using measurement techniques ( e.g. particle image velocimetry PIV ). The absence, even until today, of an objective denition of a vortex has led to the use of several Eulerian methods (vorticity, the Q and the Lambda-2 criteria, etc..), often unsuitable to extract the ow characteristics. The Lyapunov exponent, calculated on a nite time (the so-called FTLE), is an eective Lagrangian alternative to these standard methods. However, the computation methodology currently used to obtain the FTLE requires numerical evaluation of a large number of uid particle trajectories on a Cartesian grid that is superimposed on the simulated or measured velocity elds. The number of nodes required to visualize a FTLE eld of an unsteady 3D ow can easily reach several millions, which requires signicant computing resources for an adequate analysis. In this project, we aim to improve the computational eciency of the FTLE eld by providing an alternative to the conventional calculation of the components of the Cauchy-Green deformation tensor. A set of ordinary dierential equations (ODEs) is used to calculate the particle trajectories and simultaneously the rst and the second derivatives of the displacement eld, resulting in a highly improved accuracy of nodal tensor components. The rst derivatives are used to calculate the Lyapunov exponent and the second derivatives to estimate the interpolation error. Hessian matrices of the displacement eld (two matrices in 2D and three matrices in 3D) allow us to build a multi-scale optimal metric and generate an unstructured anisotropic mesh to eciently distribute nodes and to minimize the interpolation error. The exibility of anisotropic meshes allows to add and align nodes near the structures of the ow and to remove those in areas of low interest. The mesh adaptation is based on the intersection of the Hessian matrices of the displacement eld and not on the FTLE eld.