Parameter Estimation in a Nonlinear Vibration System via Cubature Kalman Filtering: Toward Developing Digital Twins of Hydroelectric Turbines

Au Québec, l’hydroélectricité représente 94 % de la production totale d’énergie électrique. Cependant, ce mode de production est confronté à de nouveaux défis. La diversification des sources de production implique, en effet, l’intégration croissante de sources d’énergie renouvelable intermittentes dans le réseau électrique. La production hydroélectrique compense alors ces fluctuations, ce qui entraîne une augmentation du nombre de démarrages et d’arrêts. Les turbines hydrauliques fonctionnent alors de plus en plus souvent en dehors de leurs conditions nominales, ce qui accélère l’usure des composants et augmente le risque de défaillances prématurées, voire de pannes majeures. Afin d’optimiser la maintenance et de prévenir ces défaillances, Hydro-Québec entreprend le développement de jumeaux numériques de turbines hydroélectriques. Un jumeau numérique constitue une représentation digitale de la turbine, offrant la possibilité d’identifier les dommages, de surveiller l’état de santé des installations, et de prédire les pannes futures, en intégrant modèles, algorithmes avancés et données issues des systèmes réels. Ce projet s’inscrit dans cette perspective, en se concentrant sur l’une des composantes du jumeau numérique : l’identification de paramètres à partir de données réelles. Compte tenu de la complexité inhérente à la modélisation directe d’une turbine à l’échelle réelle, une approche simplifiée a été adoptée, modélisant la turbine par une poutre encastrée-libre, soumise à une condition aux limites non linéaire. Ce modèle mécanique permet de reproduire le comportement dynamique du rotor et de son palier, dont les paramètres restent à déterminer. L’objectif principal de ce travail est d’estimer ces paramètres inconnus, afin de détecter et caractériser des défauts, tels que des dommages aux paliers. L’estimation des paramètres inconnus est réalisée à l’aide d’un filtre de Kalman adapté aux données non linéaires, le Cubature Kalman Filter (CKF). Ce filtre combine les mesures expérimentales et le modèle mathématique décrivant la dynamique du système, afin d’identifier les paramètres inconnus. Le montage expérimental, permettant l’acquisition des données, consiste en une poutre encastrée libre, à laquelle sont ajoutés, à l’extrémité libre, des ressorts perpendiculaires à la direction du mouvement. Ce système représente un palier endommagé, dont on veut identifier les coefficients inconnus. La poutre est mise en mouvement par un excitateur modal. Un capteur de force mesure l’effort appliqué à la poutre, tandis qu’un accéléromètre enregistre l’accélération en bout de poutre, avec une fréquence d’échantillonnage de 2048 Hz.

Abstract

The increasing integration of intermittent renewable energy sources into the power grid requires compensation through hydroelectric generation. As a result, hydro-turbines operate more frequently under off-design conditions, which accelerates wear and increases the risk of premature damage or even catastrophic failure. To predict failures and optimize maintenance operations, Hydro-Quebec aims to develop digital twins (DT) of Francis turbines. Given the complexity of directly constructing a DT for a full-scale turbine, a cantilever beam with a nonlinear boundary condition simplifies the turbine, and model the vibrating rotor-shaft line with unknown bearing coefficients. This project focuses on one key aspect of DT development: estimating unknown parameters to detect and characterize defaults such as bearing damage. The cantilever beam system is excited with a modal shaker. A force sensor measures the input force applied to the beam, while an accelerometer records the tip acceleration response. Before solving inverse problem, the model is calibrated to match the simulated response with the experimental linear data. The linear beam represent the undamaged Francis turbine and introducing a nonlinear spring system at its free end, reproduces a damaged nonlinear bearing, for which unknown parameters are estimated. Parameter estimation and inverse problem solving are performed with the cubature Kalman filter (CKF). This filtering approach combines experimental data with the mathematical model of the system to estimate both the linear and nonlinear stiffness coefficients associated with the nonlinear boundary condition. The proposed framework is first verified with synthetic data, demonstrating that the CKF accurately identifies the linear and nonlinear stiffness coefficients, with respective estimation errors of 0.8 % and 1 %. However, the ability to estimate the nonlinear stiffness depends on the beam tip displacement: when the displacement amplitude is too small, the nonlinear effect becomes negligible and the CKF cannot reliably estimate the nonlinear term. Considering the response of the beam under a multi-frequency excitation also improves parameter identification as shown when estimating the beam’s bending stiffness. This signal provides richer information for the filter and mitigates non-uniqueness issues commonly encountered in inverse problem solving. For harmonic excitation an error of 16 % on the natural frequency is ached compared to 1 % for a chirp excitation. Finally, the estimation of the linear and nonlinear spring stiffness yielded errors of 7 % and 18 %, respectively. Simulating the model with these estimated parameters shows a 3 % error when compared with the experimental frequency response curve. Developing a complete DT, however, requires integrating this estimation approach with complementary algorithms to form a hybrid twin that identifies and predicts structural damage.