Étude de problèmes de premier passage du processus de Wright–Fisher

Ce mémoire porte sur l’analyse des propriétés de passage à la frontière du processus de Wright–Fisher, un processus de diffusion stochastique défini sur l’intervalle [0, 1], dont la dynamique est donnée par une équation différentielle à bruit multiplicatif. Ce type de processus intervient naturellement en génétique des populations, pour modéliser la dérive génétique, mais aussi en finance mathématique, notamment dans l’étude des taux d’intérêt ou de la concentration de richesse. Le but de ce travail est d’étudier le comportement du processus avant son absorption en 0 ou en 1, en particulier, on calcule l’espérance du temps de premier passage aux bornes, et la surface moyenne balayée par le processus avant ce temps. Pour cela, des outils analytiques de la théorie des diffusions et des équations différentielles sont utilisés. Le modèle est ensuite complété par l’ajout de sauts aléatoires, survenant à des instants régis par un processus de Poisson. Ces sauts, supposés être uniformes, permettent de mesurer leur influence sur les probabilités d’absorption aux bornes. L’étude se ramène alors à la résolution d’équations intégro-différentielles pour évaluer la probabilité d’atteindre chacune des bornes de l’intervalle. Dans la dernière partie, des problèmes de commande optimale sont traités dans un contexte stochastique, où l’on cherche à diriger le processus vers une cible en utilisant une commande qui influence sa dynamique. Ce problème, issu des homing problems, est posé rigoureusement et résolu analytiquement par des techniques de contrôle optimal (résolution d’équations différentielles non linéaires). Les résultats obtenus offrent une meilleure compréhension des mécanismes de diffusion avec absorption et sauts, et ouvrent la voie à des généralisations dans des cadres plus complexes, notamment multidimensionnels ou avec contrôle en temps réel.

Abstract

This thesis explores the mathematical analysis of first-passage problems for the Wright–Fisher diffusion, a stochastic process defined on the interval [0, 1] and governed by a square-root type stochastic differential equation. Motivated by its applications in population genetics and mathematical finance, the work aims to characterize the behavior of this process as it evolves toward its boundary states. The first objective is to compute the expected time until absorption, that is, the first time the process reaches either boundary point. This includes quantifying the average area under the sample paths before absorption. The methods employed rely on solving boundary value problems for associated differential equations. The second objective is to generalize the model by introducing random jumps occurring at random times, governed by a Poisson process. In this framework, the jump sizes are assumed to follow a uniform distribution, and their impact on the absorption probabilities is analyzed. This formulation naturally leads to integro-differential equations, which are solved under appropriate boundary conditions. The final part of the thesis investigates optimal control strategies in the context of so-called homing problems, where the goal is to drive the process toward a specific state in an optimal manner. This involves the analysis of nonlinear second-order differential equations and the explicit characterization of optimal feedback controls. The results contribute to a deeper understanding of boundary behaviors in diffusion–jump processes and provide analytical tools that may be applied in various domains, including quantitative finance, stochastic control, and evolutionary dynamics.