Contribution à l'expression analytique de la matrice jacobienne de mécanismes parallèles et hybrides par la théorie des visseurs

La théorie des visseurs est un outil mathématique puissant, particulièrement utile à l’étude des mécanismes. Elle permet de caractériser les mobilités et les singularités de ces derniers, mais également d’établir aisément des équations de vitesses. Ces équations permettent d’établir une relation entre un vecteur contenant l’ensemble des vitesses actionnées d’un mécanisme et les vitesses d’un corps situé en sortie de ce dernier. Pour les mécanismes en série, cette relation fait directement apparaître une matrice appelée matrice jacobienne. Cette matrice contient énormément d’informations sur le comportement cinématique d’un mécanisme. Pour les mécanismes parallèles, ou plus généralement hybrides, la relation en vitesse fait apparaître deux matrices distinctes. La matrice jacobienne peut être obtenue en multipliant l’inverse de la première matrice à la seconde. Cependant, cette opération est dans l’immense majorité des cas effectuée numériquement. Ce faisant, nous perdons les informations contenues dans la matrice jacobienne. L’objectif principal de cette thèse est de donner une expression analytique de la matrice jacobienne en se servant de la théorie des visseurs. En utilisant la modélisation géométrique des forces et moments appliqués à un mécanisme, on peut alors réciproquement donner une interprétation géométrique et significative des mouvements possibles de ce dernier. Les colonnes de la matrice jacobienne que nous obtenons contiennent sous une forme concise la nature des mouvements, l’amplification en vitesse par rapport aux liaisons actionnées ainsi que les conditions d’apparition de singularités. Nous étudions différentes classes de mécanismes, ces catégories étant caractérisées par le type de déplacement possible des mécanismes, mais surtout par les contraintes qui leur sont appliquées. La matrice jacobienne que nous donnons est valide pour l’ensemble des mécanismes partageant le même type de contraintes. Chaque classe de mécanismes est illustrée par plusieurs exemples pour montrer la polyvalence des équations obtenues. Les mécanismes étudiés dans ce document sont en premier lieu les mécanismes plans, rotationnels et translationnels. Ensuite, nous nous intéressons à d’autres classes de mécanismes spatiaux à trois, puis à six degrés de liberté, qui partagent des caractéristiques communes.

Abstract

Screw theory is a powerful and well-known mathematical tool, particularly useful for studying mechanisms. It provides elegant methods for characterizing both the mobility and singula-rities of linkages and also offers a straightforward way to derive velocity equations. These equations establish a relationship between a vector containing all the actuated joint velocities and the velocity of a linkage’s output body. For serial mechanisms, this relationship directly yields a matrix known as the Jacobian ma-trix, which contains numerous pieces of information about the linkage’s kinematic behavior. For parallel or, more generally, hybrid linkage, the velocity relationship involves two distinct matrices. The Jacobian matrix can then be obtained by multiplying the inverse of the first matrix by the second. However, this operation is almost always performed numerically, which results in the loss of the structural information contained within the Jacobian matrix. The main goal of this thesis is to provide an analytical expression of the Jacobian matrix using screw theory. By geometrically modeling external efforts, one can in return significantly describe the linkage’s allowed motions. The columns of the Jacobian matrix as provided in this paper concisely describe the nature of the motions, the velocity amplification between the actuated joints and the end-effector, as well as the conditions under which singularities occur. Several classes of mechanisms are studied. The latter are characterized not only by their prospective motion but also by the constraints imposed on them. The expression of the Jacobian matrix as provided in this paper is applicable for all linkages whose constraints are of the same nature. Each class of mechanisms is illustrated by several examples to demonstrate the versatility of the resulting equations. The mechanisms examined in this work include planar, rotational, and translational linkages. Then another categories of spatial linkages which share common characteristics with three, then six degrees of freedom, are investigated.