Quantum Algorithms for Simulating 2D Flows through Porous Media using the Lattice Boltzmann Method

Les phénomènes de transport dans les milieux poreux, tels que l’écoulement des fluides, le transfert de chaleur et la diffusion de masse, sont essentiels dans les systèmes naturels et techniques. La modélisation de ces processus dans des géométries complexes ou multi échelles nécessite des méthodes de calcul avancées. La méthode de Boltzmann sur réseau (LBM), avec son cadre mésoscopique et son traitement discret de l’espace, du temps et des vitesses, capture le comportement macroscopique par le biais d’interactions locales entre les particules. À mesure que les exigences en matière de vitesse et de précision augmentent, l’intérêt s’est porté sur l’informatique quantique, qui exploite les propriétés de la mécanique quantique pour offrir un parallélisme dépassant les capacités classiques. Cette thèse présente une formulation quantique de la méthode Lattice Boltzmann (QLBM) pour simuler des écoulements de Stokes incompressibles bidimensionnels dans des domaines poreux. Une méthode basée sur la vitesse et la pression a été développée et mise en œuvre en utilisant des circuits quantiques. Cette méthode propose un support complet pour les lattices de type D2Q9, incluant la propagation diagonale de la population pour permettre la récupération complète du tenseur de contrainte. Des sous-programmes quantiques ont également été conçus pour calculer les moments d’ordre zéro et un, ce qui permet d’extraire directement des quantités acroscopiques telles que la densité et la vitesse à partir des états quantiques. Cette méthode incorpore des conditions limites périodiques sans glissement intégrées dans la logique quantique pour fonctionner indépendamment à chaque nœud de la lattice. Une vérification et une validation approfondies par rapport aux solveurs LBM classiques ont montré un excellent accord entre nos résultats quantiques et ceux obtenus par un solveur classique, avec des erreurs absolues moyennes relatives (RMAE) inférieures à 0,001 % pour la densité et inférieures à 0,1 % pour les champs de vitesse, et ce sur l’ensemble des résolutions de grille considérées. Tous les sous-programmes ont été vérifiés et intégrés dans une pipeline modulaire, ce qui permet de simuler des milieux poreux complexes dont la taille et la densité des obstacles varient. Une analyse détaillée des ressources quantiques a été réalisée pour étudier le comportement de mise à l’échelle en fonction de la taille du domaine et de la complexité géométrique, en quantifiant l’impact sur la profondeur du circuit, le nombre de qubits et les opérations de porte. Les simulations ont été effectuées en utilisant des vecteurs d’état idéaux (sans bruit) en raison des limitations matérielles actuelles telles que la décohérence, le bruit de grille et la disponibilité restreinte des qubits. Néanmoins, l’algorithme est conçu pour exploiter le parallélisme quantique et peut être adapté pour être exécuté sur des dispositifs NISQ au fur et à mesure des progrès du matériel. Ce travail établit un solveur QLBM fonctionnel et extensible qui fait le lien entre la dynamique des fluides numérique classique et l’informatique quantique.

Abstract

Transport phenomena in porous media, such as fluid flow, heat transfer, and mass diffusion are essential in both natural and engineered systems. Modeling these processes in complex or multiscale geometries requires advanced computational methods. The Lattice Boltzmann Method (LBM), with its mesoscopic framework and discrete treatment of space, time, and velocities, captures macroscopic behavior through local particle interactions. As speed and accuracy demands grow, interest has shifted toward quantum computing, which exploits quantum mechanic properties to offer parallelism beyond classical capabilities. This thesis presents a quantum formulation of the Lattice Boltzmann Method (QLBM) for simulating two-dimensional incompressible Stokes flows in porous domains. A velocity–pressure based framework was developed and implemented using quantum circuits, with complete support for D2Q9 lattices including diagonal population propagation to enable full stress tensor recovery. Quantum subroutines were designed for computing zero- and first-order moments, allowing direct extraction of macroscopic quantities such as density and velocity from the quantum states. The framework incorporates no-slip and periodic boundary conditions, embedded within the quantum logic to operate independently at each lattice node. Thorough verification and validation against classical LBM solvers showed excellent agreement, with relative mean absolute errors (RMAE) below 0.001% for density and below 0.1% for velocity fields across grid resolutions. All subroutines were verified and integrated into a modular pipeline, enabling simulation of complex porous media with varying obstacle size and density. A detailed quantum resource analysis was performed to study the scaling behavior with domain size and geometric complexity, quantifying the impact on circuit depth, qubit count, and gate operations. Simulations were carried out using ideal statevector backends due to current hardware limitations such as decoherence, gate noise, and restricted qubit availability. Nevertheless, the algorithm is designed to harness quantum parallelism and can be adapted for execution on NISQ devices as hardware advances. This work establishes a functional and extensible QLBM solver that bridges classical numerical fluid dynamics and quantum computation.