Instant de passage d'un mouvement brownien avec un retard aléatoire et solutions exactes d'équations différentielles à retard

Ce mémoire traite, dans un premier temps, de l’instant de premier passage d’un mouvement brownien observé après un délai aléatoire suivant une loi d’Erlang. L’instant de premier passage d’un mouvement brownien observé après un délai aléatoire suivant une loi exponentielle suit la distribution Ex-Wald. Cette variable aléatoire est utilisée en psychologie pour modéliser les temps de réponse. Le but de cette recherche est de généraliser ce résultat en trouvant une formule explicite de la fonction de densité de cet instant de premier passage dans le cas d’un délai suivant une loi d’Erlang. Nous appliquerons la méthodologie utilisée pour établir la distribution Ex-Wald pour trouver l’expression de la fonction de densité dans le cas d’un délai Erlang. Nous avons trouvé une formule explicite de la fonction de densité de l’instant de premier passage d’un mouvement brownien observé après un délai aléatoire suivant une loi d’Erlang. Elle peut être exprimée comme la somme des termes d’une série par récurrence dépendant des paramètres du mouvement brownien et de ceux de la distribution du délai. Dans un deuxième temps, nous donnerons des solutions exactes à des équations différentielles à retard avec différents arguments. Nous considérons des équations du premier degré et de degré supérieur. Nous donnerons également les conditions sur les arguments pour lesquelles les solutions sont effectivement des solutions des équations différentielles retardées. Deux articles de recherche basés sur ce mémoire ont été soumis pour publication. Le premier article porte sur l’instant de premier passage d’un mouvement brownien observé après un délai aléatoire suivant une loi d’Erlang. Le deuxième article couvre les solutions exactes aux équations différentielles à retard abordées dans ce mémoire.

Abstract

In this paper, we first suppose that a Brownian motion can only be observed after a random time τ . We are interested in the distribution of the time T required to record the first visit to a given threshold. In the case of the random variable τ following the exponential distribution, the distribution of the first hitting time is known as the Ex-Wald distribution. This random variable is used in psychology to model response times. The aim of this research is to generalize this result by finding a closed formula in the case of a delay following an Erlang distribution. Using the methodology used to find the closed formula for the density function of the Ex-Wald distribution, we will establish the expressions for the density function in the case of delay following an Erlang distribution. In the second part, we will give exact solutions to first-order and higher-order linear and non-linear delayed differential equations with different arguments. We will also give the conditions on the arguments for which the solutions are indeed solutions of the delayed differential equations.