Interfacial Physics-Informed Neural Networks for Electromagnetic and Multifluid Flow Problems

Physics-informed neural networks (PINNs) have emerged as a promising numerical method based on deep learning for modeling boundary value problems. In this work, we use PINNs to discretize two types of interface problems: multifluid flow problems and the electromagnetic problems in discontinuous media. Multifluid flow problems are modeled using the level-set method. The dependent variables are discretized using a coupled finite element method (FEM) with a PINN method, where the fluids’ velocity and pressure are obtained using the FEM, and the level-set function is approximated using a PINN. We propose three PINN formulations to handle time evolution, and we determine the best PINN formulation based on a problem with a manufactured solution. We compare interface reinitialization methods to determine the most suitable approach for the discretization strategy. We devise a neural network architecture that better handles complex free surface topologies. Finally, the coupled numerical strategy is validated with a rising bubble problem. As for the electromagnetic problem in discontinuous media, we use PINNs to discretize three-dimensional electromagnetic, parametric problems, with material discontinuities, covering both static and transient regimes. By replacing the discontinuous material properties with a continuous approximation,we eliminate the need to directly enforce interface conditions. Using the Neural Tangent Kernel (NTK) analysis, we show that using the first-order Maxwell’s equations is more suitable for interface problems. We introduce two strategies to enhance the PINNs performance. The first approach is a PINN-based decomposition on overlapping domains to enhance the convergence rate of the PINN. The second approach uses the level-set function to incorporate high frequencies and interface information into the input of the neural network.

Résumé

L’utilisation de "Physics-Informed Neural Network" (PINN) pour la modélisation de problèmes d’interface est proposée. Deux types de problèmes d’interface ont été abordés : le problème d’écoulement multifluide, où nous cherchons à déterminer la position de l’interface dans un écoulement, et le second type est le problème électromagnétique, où nous cherchons à déterminer les champs électromagnétiques autour d’une interface. Pour le problème d’écoulement multifluide, nous couplons la méthode des éléments finis (MEF) et les PINN, où les champs de vitesse et de pression du fluide sont obtenus via la MEF, et le PINN est utilisé pour déterminer la position de l’interface en utilisant la méthode des lignes de niveau. Une nouvelle approche PINN multi-niveau est proposée pour capturer l’évolution des lignes de niveau avec une grande précision. Trois méthodes de réinitialisation sont comparées. La méthode proposée est vérifiée sur un problème de bulle soumise à la poussée d’Archimède en 2D. Deux formulations PINN ont été proposées pour le problème électromagnétique avec des milieux discontinus. Les deux formulations utilisent les équations de Maxwell du premier ordre dans un régime en basse fréquence avec l’imposition forte des conditions aux limites et initiales, et la méthode des lignes de niveau pour approximer la discontinuité à l’interface avec une fonction de Heaviside continue. Le choix de la formulation de Maxwell est justifiée en utilisant le "Neural Tangent Kernel". La première formulation utilise une approche similaire à la décomposition de domaine, tandis que la seconde approche utilise la fonction de lignes de niveau pour faciliter le processus d’apprentissage autour de l’interface. Les deux méthodes ont été testées sur des problèmes 3D, paramétriques, statiques et transitoires, et comparées aux résultats obtenus par la MEF.