Développement d'un test d'adéquation sur les modèles d'échelle pour les maxima d'intensité de précipitations. Application aux courbes Intensité-Durée-Fréquence

Les courbes Intensité-Durée-Fréquence (IDF) sont l’outil mathématique principalement utilisé par les ingénieur(-e)s pour la modélisation des précipitations extrêmes à un endroit donné. Pour obtenir des courbes IDF fiables, des méthodes statistiques robustes sont nécessaires. L’utilisation de modèles d’échelle est indiquée pour estimer de façon plus précise les courbes IDF en réduisant le nombre de paramètres nécessaires pour modéliser le comportement ex-trême du processus de pluie. Un modèle d’échelle suppose l’existence d’une relation entre les distributions des maxima annuels d’intensité pour les différentes durées d’accumulation. Il existe différentes relations d’échelle possibles, donnant naissance à une variété de modèles. Dans ce mémoire, une procédure de test statistique est développée pour décider si un modèle d’échelle fixé est pertinent pour construire les courbes IDF à un endroit donné, basé sur les observations des maxima annuels historiques d’intensité de précipitations à cet endroit. Le test développé est une extension du test d’adéquation d’Anderson-Darling. Il implique de séparer la base de données en ensembles d’entraînement et de validation. L’ensemble d’entraînement est utilisé pour estimer les paramètres du modèle d’intérêt, et l’ensemble de validation est utilisé dans le calcul de la statistique. La distribution asymptotique de la statistique de test sous l’hypothèse nulle est établie dans un cadre général. Les quantiles de cette distribution théorique peuvent être approximés, ce qui permet de calculer analytiquement la région de rejet ainsi que la valeur-p pour le test. Dans le cas des courbes IDF, l’hypothèse nulle statue qu’un modèle d’échelle d’intérêt est adéquat. Les données sont des maxima d’intensité de précipitations. Les données correspondant à une durée d’accumulation fixée par l’utilisateur(trice) sont sélectionnées pour constituer l’ensemble de validation. Lorsque la durée choisie est la plus petite durée, les performances du test sont validées par une étude de simulation. Sous l’hypothèse nulle, le test rejette au taux nominal même pour des petits échantillons. Sous une hypothèse alternative (c’est-à-dire lorsque le modèle d’échelle utilisé pour générer les données s’écarte du modèle d’intérêt), le taux de rejet augmente avec la distance entre les modèles ainsi qu’avec la taille d’échantillon. Sur des données réelles, le test conduit à utiliser des modèles d’échelle différents à l’aéroport international Pierre-Elliott Trudeau de Montréal et à l’aérodrome Harbour de Vancouver.

Abstract

IDF curves are the primary mathematical tool used by engineers for modeling extreme precipitation at a given location. Reliable IDF curves require robust statistical methods. The use of scaling models allows for more precise estimations of IDF curves by reducing the num-ber of parameters needed to model the extreme behavior of the rainfall process. A scaling model assumes the existence of a relationship between the distributions of the annual inten-sity maxima accross the various accumulation durations. Diverse scaling relationships exist, giving rise to a variety of models. In this master thesis, a statistical testing procedure is developed to determine if a scaling model is suitable for constructing IDF curves at a given location, based on historical annual rain intensity maxima observed at that location. The developed test is an extension of the Anderson-Darling goodness-of-fit test. It involves splitting the database into training and validation sets. The training set is used to estimate the parameters of the model of interest, and the validation set is used in the calculation of the test statistic. The asymptotic distribution of the test statistic under the null hypothe-sis is established in a general framework. Quantiles of this theoretical distribution can be approximated, allowing for the analytical calculation of the rejection region as well as the p-value for the test. In the case of IDF curves, the null hypothesis states that a target scaling model is adequate. The data consist of precipitation intensity maxima. Data corresponding to a duration fixed by the user are selected to constitute the validation set. When the chosen duration is the smallest duration, the performances of the test are validated through a simulation study. Under the null hypothesis, the test maintains the nominal rejection rate even for small samples. Under an alternative hypothesis (i.e., when the scaling model used to generate the data deviates from the target model), the rejection rate increases with the discrepancy between the models as well as with the sample size. When applied to historical data, the test suggests the use of different scaling models at the Montréal Pierre-Elliott Trudeau international airport and at the Vancouver Harbour aerodrome.