Accurate Approximations of the Wave Equation: From Spectral Element Methods to Deep Learning Approaches

La solution de l’équation des ondes a suscité un grand intérêt chez les physiciens et les ingénieurs en raison de sa grande applicabilité. La méthode des éléments spectraux, une méthode bien établie, est largement utilisée pour la solution de l’équation des ondes en raison de sa capacité à combiner la haute précision des méthodes spectrales et la flexibilité géométrique de la méthode des éléments finis. Récemment, des percées importantes dans l’apprentissage profond appliqué à la résolution des équations aux dérivées partielles ouvrent des portes à de nouvelles possibilités. Cela a été inspiré par le succès de l’apprentissage profond dans des domaines comme le traitement du langage naturel et la vision par ordinateur, ainsi que par les capacités d’approximation universelle des réseaux neuronaux pour les fonctions et les opérateurs. Cette recherche fournit une compréhension théorique approfondie de l’erreur produite dans l’approximation de la solution des équations d’onde utilisant la méthode des éléments spectraux et introduit des méthodologies innovantes pour approximer avec précision l’opérateur d’onde en utilisant l’apprentissage profond, offrant potentiellement des approches améliorées par rapport aux méthodes traditionnelles. D’abord, nous présentons une analyse d’erreur a priori pour la solution de l’équation des ondes en milieu homogène bidimensionnel en utilisant la méthode des éléments spectraux avec la quadrature de Gauss-Lobatto-Legendre. Cette analyse présente des bornes d’erreur dans la norme H1 par rapport à la taille de l’élément h et au degré polynomial p. Ces bornes théoriques sont numériquement vérifiées comme étant optimales avec des solutions régulières et non régulières. Les hypothèses spécifiques sur la discrétisation par la méthode des éléments spectraux sont l’utilisation d’une triangulation par quadrilatères construite via des transformations affines à partir d’un élément carré de référence et d’une discrétisation du second ordre dans le temps par le schéma leap-frog. De plus, nous avons introduit les Green operator networks, pour obtenir une approximation de l’opérateur d’onde en approximant sa fonction de Green par l’apprentissage profond. En utilisant cette approche, on entraîne le réseau une seule fois pour une famille de paramètres et l’on peut ensuite évaluer la solution de l’équation d’onde pour un paramètre donné. Une telle approche devient particulièrement avantageuse comparée aux méthodes traditionnelles lorsque l’équation des ondes doit être résolue à plusieurs reprises, comme dans la quantification des incertitudes ou les problèmes d’optimisation. En outre, nous comparons numériquement la performance des Green operator networks à celles des Deep operator networks, lesquels fournissent une approche générale de l’apprentissage profond pour approximer les opérateurs non linéaires. Ces avantages sont démontrés au travers d’une série d’expériences numériques appliquées à l’équation des ondes dans des domaines homogènes et hétérogènes, en une et deux dimensions. Les méthodes traditionnelles de l’apprentissage profond ont souvent des difficultés à atteindre des approximations de haute précision, même dans le cas de problèmes simples. Ce défi résulte de la limitation de l’apprentissage profond à gérer de manière efficace les solutions présentant plusieurs échelles. Nous avons alors développé une nouvelle méthode, dite des réseaux neuronaux multi-niveaux (multi-level neural networks). Dans cette approche, il est possible de contrôler et de réduire les erreurs en utilisant une séquence de réseaux. Chaque nouveau réseau est introduit afin d’estimer l’erreur à une échelle différente et ainsi, après plusieurs itérations, d’obtenir des solutions de l’ordre de la précision machine. La méthode est tout d’abord illustrée sur les physics-informed neural networks pour des problèmes de valeurs aux limites linéaires et non linéaires. Elle est ensuite appliquée au problème de propagation d’ondes. Une extension de la méthode est finalement proposée pour l’approximation de l’opérateur de Poisson en utilisant les Green operator networks, comme démonstration de faisabilité pour le cas de l’équation des ondes.