Nonlinear Vibration Analysis of Thin Incompressible Hyperelastic Cylindrical Shells

Les structures de coque sont largement utilisées dans divers domaines de l’ingénierie en raison de leurs caractéristiques distinctives, notamment une capacité de charge remarquable et un rapport résistance-poids élevé. Cette thèse souligne leur importance en enquêtant sur l’analyse des vibrations non linéaires de coques cylindriques minces composées hyperélastique, une classe de structures couramment rencontree en ingénierie et en biologie. Les matériaux hyperélastiques sont d’une grande importance dans diverses applications en ingénierie en raison de leur capacité exceptionnelle à subir de grandes déformations tout en présenant leur intégrité mécanique. Ces matériaux présentent un comportement contrainte-déformation non linéaire et se trouvent couramment dans les élastomères, les tissus biologiques et les polymères souples. Pour obtenir les équations du mouvement des coques cylindriques minces hyperélastiques, il est nécessaire de prendre en compte à la fois les non-linéarités géométriques et matérielles. Dans cette étude, la non-linéarité géométrique est abordée en utilisant une théorie non linéaire basée sur la théorie des coques de Donnell, et la non-linéarité du matériau est incorporée dans le modèle en utilisant le modèle de Mooney-Rivlin. La méthode de condensation statique est utilisée pour réduire l’ordre des équations, obtenant ainsi des solutions pour les vibrations libres en utilisant la méthode de Lindstedt-Poincaré et pour les vibrations forcées à travers la méthode de l’échelle multiple. Dans la première étape de l’évaluation (comme détaillé dans le premier article), le modèle a d’abord été vérifié, et l’impact de la méthode de condensation statique a été évalué. Ensuite, l’étude s’est concentrée sur l’analyse de l’effet des fonctions de forme dans la capture de la réponse non linéaire du système. Il a été observé que les fonctions de forme avec des termes de flexion indépendants entraînent un comportement d’adoucissement plus prononcé, caractérisé par un pic plus élevé, par rapport aux fonctions de forme qui n’incluent pas de termes de flexion. De plus, cette recherche explore les courbes de base associées à deux fonctions de forme distinctes. Les résultats indiquent que la fonction de forme avec des termes de flexion présente un comportement de durcissement relativement plus faible. Dans la deuxième étape de l’évaluation (décrite dans notre deuxième article), nous avons mis en oeuvre la théorie améliorée des coques minces de Donnell pour améliorer la précision de nos résultats, en particulier lorsqu’il s’agit de nombres d’ondes circonférentielles inférieurs à cinq. Dans cette recherche, la fréquence naturelle de la coque cylindrique hyperélastique incompressible a été vérifiée par rapport aux résultats obtenus à partir d’ABAQUS. La différence maximale observée dans les résultats varie entre 2 et 2,7 [Hz], se produisant lorsque le nombre d’ondes circonférentielles est compris entre 7 et 13. Ensuite, nous avons introduit trois imperfections géométriques initiales distinctes: asymétriques, axisymétriques et combinées. Les résultats ont montré que les imperfections géométriques augmentent la fréquence naturelle et modifient le comportement de la réponse en amplitude. Ces imperfections ont la capacité d’influencer l’ampleur des pics d’adoucissement et de durcissement dans la réponse en amplitude.

Abstract

Shell structures find extensive applications in various engineering fields due to their distinctive characteristics, including a remarkable load-bearing capacity and a high stiffness-to-weight ratio. This thesis emphasizes its significance by investigating the nonlinear vibration analysis of thin cylindrical shells composed of hyperelastic material—a class of structures common in engineering and biology. Hyperelastic materials are of significant importance in various engineering applications due to their exceptional ability to undergo large deformations while maintaining mechanical integrity. These materials exhibit nonlinear stress-strain behavior and are commonly found in elastomers, biological tissues, and soft polymers. To derive the equations of motion for thin hyperelastic cylindrical shells, we need to consider both geometrical and material nonlinearities. In this study, geometrical nonlinearity is considered by employing nonlinear theory based on Donnell’s shell theory, and the material nonlinearity is incorporated into the model using the Mooney-Rivlin model. The static condensation method is employed to reduce the order of the equations, thereby obtaining solutions for free vibrations using the Lindstedt-Poincaré method and for forced vibrations through the Multiple Scales method. In the initial stage of evaluation (as detailed in the first paper), the model was first verified, and the impact of the static condensation method was assessed. Subsequently, the study focused on analyzing the effect of shape functions in capturing the nonlinear response of the system. It was observed that shape functions with independent bending terms result in a more pronounced softening behavior, characterized by a higher peak, in contrast to shape functions that do not include bending terms. Additionally, this research explores the backbone curves associated with two distinct shape functions. The findings indicate that the shape function with bending terms demonstrates a relatively weaker hardening behavior. In the second level of assessment (our second paper), we implemented the improved Donnell’s shallow shell theory to enhance the accuracy of our results, particularly when dealing with circumferential wave numbers less than five. In this research, the natural frequency of the incompressible hyperelastic cylindrical shell was verified against results obtained from ABAQUS. The maximum difference observed in the results ranges between 2 and 2.7 [Hz], occurring when the number of circumferential waves is between 7 and 13. Next, we introduced three distinct initial geometric imperfections: asymmetric, axisymmetric, and combined. The findings demonstrated that geometric imperfections increase the natural frequency and alter the amplitude response behavior. These imperfections have the ability to influence the magnitude of softening and hardening peaks in the amplitude response.