Technique adaptative pour la méthode de Galerkin sans maillage en mécanique des milieux continus

The Element Free Galerkin Method (EFG) is a variant of the Finite Element Method (FEM) using a cloud of points instead of a mesh. We use this numerical analysis technique to solve linear elasticity problems arising during the realization of a surgery simulator. This work deals with an adaptation module allowing to relocate the degrees of freedom to increase the efficiency of EFG. It is composed of an error estimator based on the polar decomposition of the displacement gradient. A second sub-module consists of an adaptation criterion making it possible to decide which parts of the object to refine or decimate according to the estimate of the error. Finally, these parts are transformed by adding or removing degrees of freedom while respecting the regular structure adopted by the simulator. We then compare to an analytical solution the model with and without adaptivity in a fixed beam configuration subjected to gravity. We also carry out a test verifying that the adaptation reacts suitably to dynamic deformations. Our results show that that our method is not greedy in computing time but that it increases the error, contrary to our initial hypothesis. This is due to the discontinuities in the parts of the object having been adapted at different levels. Otherwise, all our objectives relating to the functioning of the adaptation, which are the error estimator, the adaptation criterion, the subdivision and the decimation are functional and validated.

Résumé

La Méthode de Galerkin Sans Maillage (MGSM) est une variante de la Méthode des Éléments Finis (MEF) utilisant un nuage de points non connectés par un maillage. Nous utilisons cette technique de l'analyse numérique pour approximer des problèmes d'élasticité linéaire se posant lors de la réalisation d'un simulateur de chirurgie. Ce travail traite d'un module d'adaptation permettant de relocaliser les degrés de liberté pour augmenter l'efficience de la MGSM. Il est composé d'un estimateur d'erreur reposant sur la décomposition polaire du gradient du déplacement. Un second sous-module consiste en un critère d'adaptation permettant de décider quelles parties de l'objet subdiviser ou décimer selon l'estimation de l'erreur. Enfin, on transforme ces parties en ajoutant ou retirant des degrés de liberté en respectant la structure régulière adoptée par le simulateur. Nous comparons ensuite le modèle avec et sans adaptabilité à une solution analytique dans une configuration de poutre encastrée soumise à la gravité. Nous effectuons en outre un test vérifiant que l'adaptation réagit convenablement à des déformations dynamiques. Nos résultats montrent que notre méthode n'est pas gourmande en temps de calcul, mais qu'elle augmente l'erreur contrairement à notre hypothèse de départ. Cela est dû aux discontinuités entre les milieux ayant été adaptés à différents niveaux. Autrement, tous nos objectifs relatifs au fonctionnement de l'adaptation, c'est-à-dire l'estimation de l'erreur, le critère d'adaptation, la subdivision et la décimation sont fonctionnels et validés.