Résolution de l'équation du transport des neutrons avec la méthode aux éléments finis isogéométrique

L’objectif de ce mémoire est de réaliser une veille technologique sur la méthode d’analyse isogéométrique (IGA, Iso-Geometric Analysis) appliquée à la résolution de l’équation de transport des neutrons (BTE, Boltzmann Transport Equation). Il s’agit d’une méthode de résolution similaire à la méthode des éléments finis classique FEM (Finite Elements Method). Cependant, la méthode IGA présente deux avantages. D’une part elle retranscrit exactement la géométrie lors de l’analyse numérique et d’autre part elle facilite la transition de la phase de conception à la phase d’analyse. Pour atteindre cet objectif, un prototype MATLAB est conçu à partir de la littérature. Les différentes étapes de la conception sont détaillées afin de rendre l’algorithme reproductible. Sur le plan théorique, l’équation de transport est discrétisée selon les méthodes usuelles, à savoir, la discrétisation en énergie avec l’approche multigroupe et la discrétisation en angle avec la méthode SN (ordonnées discrètes). Quant à la discrétisation spatiale, elle constitue la différence entre la FEM classique et la méthode IGA. Sur le plan pratique, la génération des géométries NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) ainsi que le calcul des fonctions NURBS correspondantes sont réalisés en utilisant le package GeoPDE. Leur incorporation dans la FEM avec ordonnées discrètes constitue la tâche principale. La logique de conception de l’algorithme demeure similaire à celle de la FEM, impliquant la méthode d’itération de puissance pour calculer le facteur de multiplication effectif Keff et la méthode de source itérée pour découpler les équations et calculer le flux. Pour mener à bien la veille technologique, une démarche progressive est adoptée. Le premier sous-objectif est de construire correctement l’algorithme. Pour ce faire, les équations sont explicitées pour chacun des éléments constitutifs de l’algorithme. Le bon fonctionnement du package principal - GeoPDE - est vérifié. Les matrices de résolutions produites par l’algorithme sont également confrontées avec un second calcul indépendant. Le deuxième sous-objectif est de tester la performance de l’algorithme. Il est soumis à des problèmes de complexités croissantes, testant différents aspects de sa conception. Les problèmes résolus vont d’un problème à source externe monogroupe isotrope (méthode dite de solution manufacturée, MMS) à un problème à fission multigroupe anisotrope. Et les géométries impliquées incluent aussi bien des formes cartésiennes que des géométries en Pincell et Colorset. Enfin, le dernier sous-objectif est de connaître les limites de l’algorithme et de réfléchir à des améliorations futures.

Abstract

The main goal of this work consists in a technological watch over the application of the Iso- Geometrique Analysis (IGA) method in solving the Boltzmann Transport Equation (BTE) of neutrons. It is a solving method similar to the standard finite elements method (FEM). Meanwhile, IGA presents two advantages. On one hand, it is capable of exactly transcribing the geometry in order to use it in analysis. On the other hand, the transition from the designing stage to the analysis stage would become smoother. To fulfill the goal, an algorithm is conceived with the information gathered from the litterature. Every step of the conception is detailed in order to make the algorithm reproducible. On the theoretical ground , the BTE is discretized following the standard procedure, i.e, the energy discretization with multigroup approach, and the angular discretization with the SN method (Discrete Ordinates). When it comes to the spatial discretization, it is where the IGA method introduces the main changes. From the practical point of view, the creation of NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) geometry and the calculus of NURBS functions are performed using the GeoPDE package. Their incorporation into the standard FEM (with discrete ordinates) is the main task to deal with. However the solving logic remains the same, requiring the power iteration to compute Keff and the source iteration method to decouple equations and calculate the flux. A progressive approach is adopted to ensure the accuracy of every step along the path. The first sub-goal is to correctly build the algorithm. For that purpose, every term involved in the conception of the algorithm has its equation explicited. The main package, GeoPDE is checked. The matrices computed by this package are compared to another version of them, which are independantly computed. The second sub-goal is to test the perfomances of the algorithm. It is challenged with a series of problems with growing complexity. The problems range from isotrope monogroup source problem (the Method of Manufactured Solution, MMS, is used) to anisotrope multigroup fission problem in order to shed light on differents aspects. Also the geometries varies from cartesian to the standard Pincell geometry. And finally the last sub-goal is to find out the algorithm’s limits and propose futur improvements. The performances observed are mixed. The algorithm is capable of solving most of the problems but some of the results lack precision, when compared to other solving tools like DRAGON. For example, the anisotropic multigroup fission problem over a Pincell is well managed until the fuel pin is surrounded by a protective material.