Résolution de l'équation du transport des neutrons avec la méthode aux éléments finis isogéométrique

L’objectif de ce mémoire est de réaliser une veille technologique sur la méthode d’analyse isogéométrique (IGA, Iso-Geometric Analysis) appliquée à la résolution de l’équation de transport des neutrons (BTE, Boltzmann Transport Equation). Il s’agit d’une méthode de résolution similaire à la méthode des éléments finis classique FEM (Finite Elements Method). Cependant, la méthode IGA présente deux avantages. D’une part elle retranscrit exactement la géométrie lors de l’analyse numérique et d’autre part elle facilite la transition de la phase de conception à la phase d’analyse. Pour atteindre cet objectif, un prototype MATLAB est conçu à partir de la littérature. Les différentes étapes de la conception sont détaillées afin de rendre l’algorithme reproductible. Sur le plan théorique, l’équation de transport est discrétisée selon les méthodes usuelles, à savoir, la discrétisation en énergie avec l’approche multigroupe et la discrétisation en angle avec la méthode SN (ordonnées discrètes). Quant à la discrétisation spatiale, elle constitue la différence entre la FEM classique et la méthode IGA. Sur le plan pratique, la génération des géométries NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) ainsi que le calcul des fonctions NURBS correspondantes sont réalisés en utilisant le package GeoPDE. Leur incorporation dans la FEM avec ordonnées discrètes constitue la tâche principale. La logique de conception de l’algorithme demeure similaire à celle de la FEM, impliquant la méthode d’itération de puissance pour calculer le facteur de multiplication effectif Keff et la méthode de source itérée pour découpler les équations et calculer le flux. Pour mener à bien la veille technologique, une démarche progressive est adoptée. Le premier sous-objectif est de construire correctement l’algorithme. Pour ce faire, les équations sont explicitées pour chacun des éléments constitutifs de l’algorithme. Le bon fonctionnement du package principal - GeoPDE - est vérifié. Les matrices de résolutions produites par l’algorithme sont également confrontées avec un second calcul indépendant. Le deuxième sous-objectif est de tester la performance de l’algorithme. Il est soumis à des problèmes de complexités croissantes, testant différents aspects de sa conception. Les problèmes résolus vont d’un problème à source externe monogroupe isotrope (méthode dite de solution manufacturée, MMS) à un problème à fission multigroupe anisotrope. Et les géométries impliquées incluent aussi bien des formes cartésiennes que des géométries en Pincell et Colorset. Enfin, le dernier sous-objectif est de connaître les limites de l’algorithme et de réfléchir à des améliorations futures.