Modélisation et simulation numérique d'écoulements diphasiques de fluides séparés par une interface avec une méthode d'éléments finis adaptatives en espace et en temps

Nous présentons dans ce mémoire les développements qui ont été réalisés afin de mettre en place des modèles et des méthodes permettant de simuler numériquement des problèmes d'écoulements diphasiques de fluides séparés par une interface avec une méthode d'éléments finis adaptative en espace et en temps sur des domaines bidimensionnels. Nous proposons pour cela une méthodologie conçue de façon à simultanément « calculer juste et au juste coût ». La réalisation de ces deux objectifs repose respectivement sur l'utilisation (1) de modèles représentatifs de la physique des écoulements diphasiques à phases séparées et de méthodes numériques à ordre élevé très précises, et (2) de méthodes adaptatives en espace et en temps. L'approche développée se base sur l'utilisation d'une méthode de suivi d'interface dans laquelle les interfaces qui séparent deux fluides non miscibles sont représentées explicitement au sein du maillage du domaine de calcul. Cette méthode permet de représenter fidèlement et avec une grande précision les phénomènes se produisant dans la région interfaciale mais nécessite de déformer le maillage pour suivre les déplacements des interfaces. La méthode du pseudo-solide et une formulation Arbitrary Lagragian-Eulerian (ALE) des équations de Navier- Stokes fournissent dans notre implémentation une manière robuste et efficace d'effectuer la déformation du maillage. Les activités de modélisation de la physique sont concentrées sur deux aspects fondamentaux pour les écoulements diphasiques à phases séparées : (1) la modélisation de la force de tension superficielle et du comportement de la ligne de contact, et (2) la prise en compte de la compressibilité des fluides. Nous avons implémenté pour cela une formulation de la tension superficielle qui, grâce à l'utilisation de l'opérateur de Laplace-Beltrami, est parfaitement compatible avec la méthode des éléments finis. Deux modèles pour la compressibilité des fluides nous permettent par ailleurs de représenter le comportement des gaz et des liquides faiblement compressibles. L'approche adaptative en espace et en temps assure d'une part que l'erreur de discrétisation est connue et contrôlée tout au long de la simulation et d'autre part que le coût de calcul est aussi faible possible pour atteindre la précision demandée par l'utilisateur. L'algorithme d'adaptation de maillage pour les simulations instationnaires et la méthode de remaillage que nous avons développée contribuent par ailleurs à minimiser la charge de travail de l'utilisateur et permettent d'automatiser et de rendre autonome l'ensemble de la chaîne de calcul. La réalisation de simulations de vérification et de validation permet de confirmer que les différents modèles et méthodes numériques utilisés sont correctement implémentés et fournissent une représentation correcte de la physique des problèmes auxquels nous nous intéressons. Le processus de vérification basé sur l'utilisation de la méthode des solutions manufacturées (MMS) permet de confirmer que l'implémentation des équations est correcte. La validation des modèles est ensuite réalisée en confrontant les résultats obtenus numériquement à des données issues de modèles analytiques simples. Enfin, nous illustrons les capacités de la chaîne de calcul complète en réalisation la simulation de différents phénomènes qui sont typiquement rencontrés dans les problèmes d'écoulements diphasiques à phases séparées : instabilités de Rayleigh-Taylor et de Kelvin-Helmholtz et ascension d'une bulle de gaz sous l'effet de la poussée d'Archimède. Un cas plus complexe représentant l'impact d'une vague déferlante sur une paroi solide met par ailleurs en oeuvre l'ensemble des développements réalisés. Ces simulations mettent en évidence que les algorithmes employés sont capables de capturer et représenter efficacement à la fois les déplacements et déformations à grande échelle des interfaces mais aussi les phénomènes à haute fréquence et ayant une petite échelle spatiale. Les comparaisons des résultats issus de ces simulations à des résultats théoriques, expérimentaux et numériques indique que notre formulation est capable de fournir des données très précises pouvant être utilisées pour la conception de systèmes complexes ou l'étude de phénomènes physiques fondamentaux.

Abstract

This work presents an adaptive in space and time approach for the simulation of twodimensional unsteady interfacial flows based on the finite element method that takes into account the influence of surface tension. Our proposed solution relies on models and numerical methods that are able to provide accurate results in a cost-efficient manner. Achieving these two objectives is done through the joint use of (1) accurate models for the physics of interfacial flows and high-order numerical methods, and (2) adaptive numerical methods in space and time. The approach we have developed takes advantage of an interface tracking method in which the interfaces separating two immiscible fluids are explicitly represented within the mesh of the computational domain. This method allows us to accurately represent and capture the various phenomena occurring in the interfacial region but requires the computational grid to be deformed in order to track the displacements of the interfaces. The pseudo-solid method and an Arbitrary Lagragian-Eulerian (ALE) formulation of the Navier-Stokes equations provide, in our implementation, a robust and efficient way to perform mesh deformation. Modeling activities are focused on two fundamental aspects for separated two-phase flows: (1) modeling surface tension effects and the behavior of the moving contact line, and (2) taking into account the influence of fluid compressibility. The formulation of the surface tension force we have implemented provides, thanks to the use of the Laplace-Beltrami operator, an accurate formulation that is fully compatible with the finite element method. Compressibility effects in gases and nearly incompressible liquids are modeled using two distinct equations of state. The adaptive approach in space and time ensures that, on the one hand, the discretization error is known and controlled throughout the simulation and, on the other hand, that the computational cost is as low as possible to achieve the user-requested accuracy. The mesh adaptation algorithm for unsteady simulations and the remeshing method that we have developed additionally minimize the user's workload and automate the entire simulation process. Verification and validation simulations are performed to confirm that the various models and numerical methods used are correctly implemented and provide a correct representation of the physics of the problems of interest. The verification process based on the use of the Method of Manufactured Solutions (MMS) allows us to confirm that the implementation of the equations and methods has been done correctly. The validation of the models is then carried out by comparing the results obtained numerically with data derived from simple analytical models. Lastly, we illustrate the capabilities of our approach with the simulation of various phenomena typically encountered in two-phase flow problems: Rayleigh-Taylor and Kelvin-Helmholtz instabilities and the rise of a gas bubble due to buoyant forces. A fourth and more complex case representing the impact of a breaking wave on a solid wall demonstrates the simultaneous use of all the developments carried out in this project. These simulations show that the algorithms used are capable of efficiently capturing and representing both large-scale displacements and deformations of the interfaces, as well as high-frequency, small-scale phenomena. Comparisons of the data extracted from these simulations with theoretical, experimental and numerical results show excellent agreement, suggesting that our formulation provides very accurate and physically meaningful results that can be used to design complex systems or to study fundamental physical phenomena.