Modélisation et simulation numérique d'écoulements diphasiques de fluides séparés par une interface avec une méthode d'éléments finis adaptatives en espace et en temps

Nous présentons dans ce mémoire les développements qui ont été réalisés afin de mettre en place des modèles et des méthodes permettant de simuler numériquement des problèmes d'écoulements diphasiques de fluides séparés par une interface avec une méthode d'éléments finis adaptative en espace et en temps sur des domaines bidimensionnels. Nous proposons pour cela une méthodologie conçue de façon à simultanément « calculer juste et au juste coût ». La réalisation de ces deux objectifs repose respectivement sur l'utilisation (1) de modèles représentatifs de la physique des écoulements diphasiques à phases séparées et de méthodes numériques à ordre élevé très précises, et (2) de méthodes adaptatives en espace et en temps. L'approche développée se base sur l'utilisation d'une méthode de suivi d'interface dans laquelle les interfaces qui séparent deux fluides non miscibles sont représentées explicitement au sein du maillage du domaine de calcul. Cette méthode permet de représenter fidèlement et avec une grande précision les phénomènes se produisant dans la région interfaciale mais nécessite de déformer le maillage pour suivre les déplacements des interfaces. La méthode du pseudo-solide et une formulation Arbitrary Lagragian-Eulerian (ALE) des équations de Navier- Stokes fournissent dans notre implémentation une manière robuste et efficace d'effectuer la déformation du maillage. Les activités de modélisation de la physique sont concentrées sur deux aspects fondamentaux pour les écoulements diphasiques à phases séparées : (1) la modélisation de la force de tension superficielle et du comportement de la ligne de contact, et (2) la prise en compte de la compressibilité des fluides. Nous avons implémenté pour cela une formulation de la tension superficielle qui, grâce à l'utilisation de l'opérateur de Laplace-Beltrami, est parfaitement compatible avec la méthode des éléments finis. Deux modèles pour la compressibilité des fluides nous permettent par ailleurs de représenter le comportement des gaz et des liquides faiblement compressibles. L'approche adaptative en espace et en temps assure d'une part que l'erreur de discrétisation est connue et contrôlée tout au long de la simulation et d'autre part que le coût de calcul est aussi faible possible pour atteindre la précision demandée par l'utilisateur. L'algorithme d'adaptation de maillage pour les simulations instationnaires et la méthode de remaillage que nous avons développée contribuent par ailleurs à minimiser la charge de travail de l'utilisateur et permettent d'automatiser et de rendre autonome l'ensemble de la chaîne de calcul. La réalisation de simulations de vérification et de validation permet de confirmer que les différents modèles et méthodes numériques utilisés sont correctement implémentés et fournissent une représentation correcte de la physique des problèmes auxquels nous nous intéressons. Le processus de vérification basé sur l'utilisation de la méthode des solutions manufacturées (MMS) permet de confirmer que l'implémentation des équations est correcte. La validation des modèles est ensuite réalisée en confrontant les résultats obtenus numériquement à des données issues de modèles analytiques simples. Enfin, nous illustrons les capacités de la chaîne de calcul complète en réalisation la simulation de différents phénomènes qui sont typiquement rencontrés dans les problèmes d'écoulements diphasiques à phases séparées : instabilités de Rayleigh-Taylor et de Kelvin-Helmholtz et ascension d'une bulle de gaz sous l'effet de la poussée d'Archimède. Un cas plus complexe représentant l'impact d'une vague déferlante sur une paroi solide met par ailleurs en oeuvre l'ensemble des développements réalisés. Ces simulations mettent en évidence que les algorithmes employés sont capables de capturer et représenter efficacement à la fois les déplacements et déformations à grande échelle des interfaces mais aussi les phénomènes à haute fréquence et ayant une petite échelle spatiale. Les comparaisons des résultats issus de ces simulations à des résultats théoriques, expérimentaux et numériques indique que notre formulation est capable de fournir des données très précises pouvant être utilisées pour la conception de systèmes complexes ou l'étude de phénomènes physiques fondamentaux.