Nonlinear vibration and Supersonic Flutter of Conical Shells

Les coques coniques sont utilisées dans la conception d'une variété de composants de véhicules aérospatiaux, allant des réservoirs de carburant externes des avions de chasse aux lanceurs de satellites. Par conséquent, l'analyse de leurs comportements dynamique et aéroélastique est de grande importance pour la conception de ces structures. Depuis que des études expérimentales ont rapporté que le flottement supersonique se produit à des amplitudes ayant le même ordre de grandeur que l'épaisseur de la coque, les théories géométriques non-linéaires des coques sont de plus en plus utilisées. Ces dernières permettent une meilleure compréhension du phénomène et des résultats plus précis. Plusieurs théories des coques basées sur différentes hypothèses simplificatrices de la cinématique non linéaire ont été développées au cours des dernières décennies, y compris les théories des coques de Donnell, de Sanders et de Novozhilov. Ces théories se distinguent principalement par leurs différentes hypothèses dans le développement des relations de déplacements à la surface moyenne de la coque. La théorie de Donnell a introduit l'effet non linéaire du second ordre du déplacement normal à la surface moyenne lors du développement de la déformation dans le plan. La théorie de Sanders utilise la forme exacte des équations de « petites déformations » pour les déformations membranaires et un ensemble d'équations linéarisées pour les changements des courbures et des torsions de la surface de référence. Plus récemment, Nemeth a développé une théorie qui utilise les relations exactes non linéaires de déformation-déplacement avec des hypothèses de rotations modérées et de petites déformations. Cette théorie peut reproduire la théorie de Donnell et celle de Sanders en tant que cas particuliers, tout en offrant la possibilité de mener une étude comparative entre les prédictions de ces deux théories. Les relations déformation-déplacement peuvent être utilisées pour obtenir les équations d'équilibre et du mouvement des coques. La discrétisation de ces équations est faite en utilisant la méthode des éléments finis (MEF). Un avantage attrayant de cette méthode est sa flexibilité supérieure dans la gestion de différentes conditions aux limites. L'objectif de cette thèse est d'étudier les vibrations non linéaires et le flottement supersonique des coques coniques tronquées. Une formulation par la MEF hybride est d'abord développée sur la base de la solution exacte de la théorie améliorée de la première approximation de Sanders pour les coquilles minces. Par la suite, les équations non linéaires du mouvement des coques ont été obtenues en utilisant la méthode des coordonnées généralisées et des théories de coques non linéaires. Les coordonnées généralisées ont été choisies en fonction du déplacement nodaux de la coque. L'interaction fluide-structure induite par l'écoulement supersonique a été modélisée en utilisant la théorie de piston. Les effets de raidissement dus aux charges axiales et à la pression interne ont également été modélisés en les exprimant en termes des déplacements nodaux. Pour obtenir la réponse non linéaire de la vibration de la coque sans fluide, un algorithme a été développé basé sur la méthode de réponse harmonique modifiée et sur l'approche de Galerkin dans le domaine temporel. Cet algorithme peut fournir la fréquence de vibration non linéaire en fonction de la variation de l'amplitude de vibration. Une version améliorée du ce même algorithme a également été utilisée pour obtenir la réponse de flottement supersonique. Le modèle développé et l'outil numérique ont la capacité d'effectuer les analyses suivantes: i) Prédiction des vibrations naturelles linéaires des coques coniques tronquées sous pression et/ou sous charges axiales. Différents schémas de conditions aux limites ont pu être étudiés et les prédictions obtenues sont en bon accord avec les résultats expérimentaux rapportés dans la littérature. ii) Prédiction du début de divergence et du flottement linéaire des coques coniques tronquées sous pression et/ou sous charges axiales pour différentes conditions aux limites. Les prédictions de cette méthode ont été validées positivement par des expériences sélectionnées dans la littérature. Les réservoirs sous pression se sont révélés déstabilisés à des pressions dynamiques plus élevées. iii) Prédiction des vibrations non linéaires des coques coniques tronquées à vide prédite par les théories de Donnell, Sanders et Nemeth. La réponse axisymétrique des coques coniques tronquées étudiées a démontré un comportement de durcissement selon des courbes de l'épine dorsale. Dans les cas étudiés, bien que de légères différences entre la force des prédictions de la cinématique non linéaire de Donnell et deux autres théories aient pu être identifiées, il a été constaté que les différences entre les prédictions des théories de Sanders et de Nemeth sont négligeables. Par conséquent, en raison de son coût de calcul moins cher, la coniques tronquées. Une formulation par la MEF hybride est d'abord développée sur la base de la solution exacte de la théorie améliorée de la première approximation de Sanders pour les coquilles minces. Par la suite, les équations non linéaires du mouvement des coques ont été obtenues en utilisant la méthode des coordonnées généralisées et des théories de coques non linéaires. Les coordonnées généralisées ont été choisies en fonction du déplacement nodaux de la coque. L'interaction fluide-structure induite par l'écoulement supersonique a été modélisée en utilisant la théorie de piston. Les effets de raidissement dus aux charges axiales et à la pression interne ont également été modélisés en les exprimant en termes des déplacements nodaux. Pour obtenir la réponse non linéaire de la vibration de la coque sans fluide, un algorithme a été développé basé sur la méthode de réponse harmonique modifiée et sur l'approche de Galerkin dans le domaine temporel. Cet algorithme peut fournir la fréquence de vibration non linéaire en fonction de la variation de l'amplitude de vibration. Une version améliorée du ce même algorithme a également été utilisée pour obtenir la réponse de flottement supersonique. Le modèle développé et l'outil numérique ont la capacité d'effectuer les analyses suivantes: i) Prédiction des vibrations naturelles linéaires des coques coniques tronquées sous pression et/ou sous charges axiales. Différents schémas de conditions aux limites ont pu être étudiés et les prédictions obtenues sont en bon accord avec les résultats expérimentaux rapportés dans la littérature. ii) Prédiction du début de divergence et du flottement linéaire des coques coniques tronquées sous pression et/ou sous charges axiales pour différentes conditions aux limites. Les prédictions de cette méthode ont été validées positivement par des expériences sélectionnées dans la littérature. Les réservoirs sous pression se sont révélés déstabilisés à des pressions dynamiques plus élevées. iii) Prédiction des vibrations non linéaires des coques coniques tronquées à vide prédite par les théories de Donnell, Sanders et Nemeth. La réponse axisymétrique des coques coniques tronquées étudiées a démontré un comportement de durcissement selon des courbes de l'épine dorsale. Dans les cas étudiés, bien que de légères différences entre la force des prédictions de la cinématique non linéaire de Donnell et deux autres théories aient pu être identifiées, il a été constaté que les différences entre les prédictions des théories de Sanders et de Nemeth sont négligeables. Par conséquent, en raison de son coût de calcul moins cher, la théorie de Sanders peut être utilisée pour les classes de coques étudiées dans les travaux en cours. iv) Prédiction du comportement de flottement supersonique non linéaire de cônes tronqués sous pression et/ou sous charges axiales pour les trois théories non linéaires susmentionnées. Pour les cas étudiés, la cinématique non linéaire a diminué la stabilité de la coque lorsqu'elle est exposée au champ d'écoulement supersonique. Les vibrations non linéaires et le flottement ont été validés par les cas rapportés de coques cylindriques, qui ont été simulées via un cône tronqué avec un angle de cône très petit. L'application de la MEF permet la modélisation de différentes conditions aux limites et géométries des coques coniques tronquées. Ce programme, en comparaison avec les logiciels commerciaux, est moins coûteux en termes de calcul et il capable de modéliser comportement non linéaire qui reste une tâche difficile pour beaucoup de logiciel.

Abstract

Conical shells have important applications in the design of a variety of aerospace vehicles, ranging from external fuel tanks of fighter jets to satellite launch vehicles. Hence, vibrational and aeroelastic analyses are important criteria in the design of these structures. Since experimental studies have reported that supersonic flutter occurs at amplitudes with the same order of magnitude as the thickness of the shell, geometrically nonlinear shell theories can provide a better and more accurate understanding of these problems. Different shell theories with different levels of approximation and simplifying assumptions for nonlinear kinematics have been developed in past decades, including Donnell's, Sanders' and Novozhilov's shell theories. The differences between these theories mostly can be attributed to their different assumptions in the development of the strain-displacement relationship on the middle surface of the shell. Donnell's theory introduced the secondorder nonlinear effect of normal-to-surface displacement in developing the in-plane strain. Sanders' theory employed the exact form of the “small-strain” equations for the membrane strains and a set of linearized equations for the changes in the reference-surface curvature and torsions. More recently, Nemeth developed a theory that employed the exact nonlinear strain-displacement relations with presumptions of moderate rotations and small strains. This theory can reproduce Donnell's and Sanders' theories as an explicit subset while providing an opportunity to conduct a comparative study between the predictions of those theories. The strain-displacement relationships can be employed to obtain the equilibrium and equations of motion for shells.One important family of discretization of these equations is the finite elements method (FEM). One attractive advantage of the FEM is its superior flexibility in handling different boundary conditions. The objective of this thesis is to investigate the nonlinear vibration and supersonic flutter of truncated conical shells. In this thesis, a hybrid FEM formulation is first developed based on the exact solution of Sanders' improved first-approximation theory for thin shells. Then, utilizing the generalized coordinates method and nonlinear shell theories, the nonlinear equations of motion for shells were obtained. The generalized coordinates were chosen in terms of the nodal displacement of the shell. Fluid structure interaction as a result of exposure to the supersonic flow was modeled using the piston theory. The effects of axial loads and internal pressure were also modeled in terms of nodal displacements. To obtain the nonlinear response of the shell's vibration in vacuo, an algorithm was developed based on the modified harmonic response method that employed Galerkin's approach in the time domain. This algorithm can provide the nonlinear vibration frequency as a result of the variation in vibration amplitude. An improved version of the same algorithm was also used to obtain the supersonic flutter response. The developed model and numerical tool have the capability to perform the following analyses: i) Prediction of linear natural vibration of pressurized truncated conical shells under axial loads. Different schemes for boundary conditions could be studied and the predictions found to be in good accordance with the experimental results reported in literature. ii) Prediction of linear flutter onset and divergence of pressurized truncated conical shells under axial loads under different boundary conditions. The predictions of this method were validated against selected experiments in the literature with good agreement. The pressurized shells were found to be destabilized at higher dynamic pressures. iii) Prediction of nonlinear vibration of truncated conical shells in vacuo predicted by Donnell's, Sanders' and Nemeth's theories. The axisymmetric response of the studied truncated conical shells demonstrated a hardening behavior in the backbone curves. In the studied cases, while slight differences between the strength of predictions of Donnell's nonlinear kinematics and two other theories could be identified, it was found that the differences between the predictions of Sanders' and Nemeth's theories were negligible. Hence, due to its less expensive computational cost, Sanders' theory can be used for the classes of shells investigated in the current work. iv) Prediction of nonlinear supersonic flutter behavior of pressurized truncated conical shells under axial loads for three selected nonlinear theories. For the studied cases, the nonlinear kinematics decreased the shell's stability when it was exposed to the supersonic flow field. Both nonlinear vibration and flutter were validated against reported cases of cylindrical shells, which were simulated via a truncated cone with a very small cone angle. The developed FEM application can be used to model different boundary conditions and geometries of truncated conical shells. Both nonlinear vibration and flutter were validated against reported cases of cylindrical shells which were simulated via a truncated cone with a very small cone angle. The developed FEM application can be used to model different boundary conditions and geometries of truncated conical shells. This program in comparison to general application commercial applications is computationally less expensive and can model nonlinear behaviors that are difficult to model with them.