Méthodologie de vérification d'un processus adaptatif utilisant la mesure de non-conformité

Dans le contexte où l'on veut obtenir des résultats fiables d'analyses CFD pour des problèmes d'écoulements internes incompressibles à haut nombre de Reynolds, on s'intéresse à la mise en oeuvre rigoureuse et méthodique d'un processus adaptatif qui contrôle l'erreur d'interpolation pour un problème à un seul scalaire. Deux contributions originales ont été faites lors de la mise en oeuvre de ce processus. La première est une mesure universelle permettant de mesurer la conformité d'un élément du maillage par rapport aux spécifications du maillage données sous forme d'espace métrique. Cette mesure permet d'évaluer la qualité d'un maillage en regard de l'estimateur d'erreur utilisé. La mesure peut donc servir pour optimiser le maillage ou pour comparer des algorithmes d'optimisation en mesurant la conformité des maillages produits par ces algorithmes. La mesure s'applique à tous les types d'éléments et est insensible aux dimensions du domaine. La seconde contribution est une méthodologie de vérification du processus adaptatif qui utilise des solutions manufacturées afin de vérifier chaque étape du processus. Cette méthodologie mesure l'équirépartition de l'erreur d'approximation en calculant l'écart type de l'erreur maximum sur chaque élément afin de vérifier que le processus contrôle bel et bien l'erreur d'approximation. Un second article présentant cette méthodologie compare un raffinement uniforme, un processus d'adaptation isotrope et un processus d'adaptation anisotrope appliqués à des solutions manufacturées. On montre, pour une solution fortement anisotrope, qu'un maillage de 7000 tétraèdres étirés est aussi précis qu'un maillage de 4 millions de tétraèdres uniformes. De plus, on présente deux autres contributions originales réalisées durant cette thèse, mais qui n'ont pas fait l'objet de publication dans des revues scientifiques. Il s'agit, dans un premier temps, d'un algorithme récursif de basculement par division bipariétale permettant de trouver la façon optimale de basculer une arête lors de l'optimisation du maillage. Dans un deuxième temps, on présente une façon de visualiser les actions principales que l'estimateur d'erreur veut effectuer sur le maillage.

Abstract

A method is presented that measures the non-conformity of a mesh with respect to a size specification map given in the form of a Riemannian metric. The measure evaluates the difference between the metric tensor of a simplex of the mesh and the metric tensor specified on the size specification map. This measure is universal because it is a unique, dimensionless number which characterizes either a single simplex of a mesh or a whole mesh, both in size and in shape, be it isotropic or anisotropic, coarse or fine, in a small or a big domain, in two or three dimensions. This measure is important because it can compare any two meshes in order to determine unequivocally which of them is better. Analytical and numerical examples illustrate the behavior of this measure. Also, a verification methodology that can assess the precision and convergence of an anisotropic adaptive process as it applies to control the interpolation error of sample 2D and 3D reaction-diffusion problems is presented. The technique of Manufactured Solution is used to devise problems for which the analytical solution is known. The convergence rate of the Hessian-based error estimator used in this unstructured mesh adaptation method is first evaluated through mesh convergence studies. Two distinct mesh quality measures are then used to illustrate mesh improvement in the course of adaptation. Finally, the overall adaptive process is verified by measuring the convergence rate of the interpolation error as well as measuring how evenly the interpolation error is distributed over all the elements of the adapted meshes. This verification process first demonstrates that each component of the adaptation process converges at a rate predicted by theory, and second how effective anisotropic adaptation is to reduce the number of nodes needed to achieve a prescribed error level. The proposed verification methodology constitutes a quantitative approach to compare mesh adaptation algorithms among them, both in terms of efficiency and quality of the resulting mesh. Two other contributions are presented that complement the work done in this thesis. The first contribution is a tridimentionnal edge swapping procedure that recursively subdivides the edge swapping problem by finding two parietal pairs of tetraedra of optimal quality. The second contribution is the visualisation of the principal actions that an error estimator wants to perform on a mesh.